Skip to main content
/ Luyện Thi Vào Lớp 10 Môn Toán / Câu hỏi 58582

Cho các số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} > 2

Cho các số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: > 2

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} > 2


A.
Click để xem lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Vì các số a, b, c dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ta có:

\sqrt{a(b+c)}  ≤ \frac{a+(b+c)}{2}   => \sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}  ≥ \frac{2a}{a+b+c}

Tương tự ta cũng có:

\sqrt{\frac{b}{c+a}}  ≥ \frac{2b}{a+b+c}  ; \sqrt{\frac{c}{a+b}}  ≥ \frac{2c}{a+b+c}

Cộng các bất đẳng thức cùng chiều trên ta có:

\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}  ≥ \frac{2a+2b+2c}{a+b+c} = 2

Dấu bằng xảy ra <=> \left\{\begin{matrix} a=b+c\\ b=c+a\\ c=a+b \end{matrix}\right.            <=> a = b = c = 0, không thỏa mãn.

Vậy \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} > 2

Câu hỏi liên quan

  • Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt M và N với mọi K

    Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt M và N với mọi K

    Chi tiết
  • AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.

    AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.

    Chi tiết
  • Giải phương trình với a = -2

    Giải phương trình với a = -2

    Chi tiết
  • Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chi tiết
  • Cho biểu thức:A =

    Cho biểu thức:

    A = left ( frac{3}{sqrt{b}-1}+frac{sqrt{b}-3}{b-1} right ):left ( frac{b+2}{b+sqrt{b}-2}-frac{sqrt{b}}{sqrt{b}+2} right )

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Rút gọn A

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình với a = 2

    Giải hệ phương trình với a = 2

    Chi tiết
  • Tìm a để hệ phương trình có một nghiệm số duy nhất thỏa mãn: x2  

    Tìm a để hệ phương trình có một nghiệm số duy nhất thỏa mãn:  x2  - 12x – 14y < 0 

    Chi tiết
  • Rút gọn biểu thức A

    Rút gọn biểu thức A

    Chi tiết
  • Tính AC và BD biết

    Tính AC và BD biết widehat{AOC} = alpha. Chứng tỏ tích AC.BD không phụ thuộc vào  alpha

    Chi tiết
  • Tìm b để A =

    Tìm b để A = frac{5}{2}

    Chi tiết