Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 7043

Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn: a+b+c=\frac{3}{4} Chứng minh rằng: \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}≥3 Dấu "=" xảy ra khi:

Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn: a+b+c=

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn: a+b+c=\frac{3}{4} Chứng minh rằng: \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}≥3 Dấu "=" xảy ra khi:


A.
a=b=c=\frac{3}{4}
B.
a=b=c=2
C.
a=b=c=\frac{1}{4}
D.
a=b=c=1
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng-trung bình nhân cho 2 bộ ba số dương ta có:

(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})≥3\sqrt[3]{xyz}.\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}=9 => \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}≥\frac{9}{x+y+z}  (*)

Áp dụng (*) ta có:

P=\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}

≥\frac{9}{\sqrt[3]{a+3b}+\sqrt[3]{b+3c}+\sqrt[3]{c+3a}}

Áp dụng bất đẳng thức trung bình công-trung bình nhân cho 3 bộ ba số dương ta có:

\sqrt[3]{(a+3b)1.1}≤ \frac{a+3b+1+1}{3}=\frac{1}{3}(a+3b+2)

\sqrt[3]{(b+3c)1.1}≤\frac{b+3c+1+1}{3}=\frac{1}{3}(b+3c+2

\sqrt[3]{(c+3a)1.1}≤\frac{c+3a+1+1}{3}=\frac{1}{3}(c+3a+2)

Suy ra \sqrt[3]{a+3b}+\sqrt[3]{b+3c}+\sqrt[3]{c+3a}≤\frac{1}{3}[4(a+b+c)+6]

≤\frac{1}{3}[4.\frac{3}{4}+6]=3

Do đó P≥3; dấu "=" xảy ra <=> \left\{\begin{matrix} a+b+c=\frac{3}{4}\\a+3b=b+3c=c+3a=1 \end{matrix}\right.

<=> a=b=c=\frac{1}{4}

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết