Cho a và b là các số thực dương. Chứng minh rằng: (a+b)^{2}+\frac{a+b}{2}\geq 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}
Câu hỏi
Nhận biếtCho a và b là các số thực dương.
Chứng minh rằng: (a+b)^{2}+\frac{a+b}{2}\geq 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}
Đáp án đúng: A
Lời giải của Luyện Tập 365
Với ∀a,b>0, ta có :(\sqrt{a}-\frac{1}{2})^{2}\geq 0;(\sqrt{b}-\frac{1}{2})^{2}\geq 0=>a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}\geq 0;b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\geq 0=>(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4})+(b-\sqrt{b}+\frac{1}{4})\geq 0 ∀a,b>0=>a+b+\frac{1}{2}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}>0 (1)
Mặt khác a+b\geq 2\sqrt{ab}>0 (2)
Nhân từng vế của (1) và (2) ta có :
(a+b)[(a+b)+\frac{1}{2}]\geq 2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})=>(a+b)^{2}+\frac{(a+b)}{2}\geq 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}
Với ∀a,b>0, ta có :(\sqrt{a}-\frac{1}{2})^{2}\geq 0;(\sqrt{b}-\frac{1}{2})^{2}\geq 0=>a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}\geq 0;b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\geq 0=>(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4})+(b-\sqrt{b}+\frac{1}{4})\geq 0 ∀a,b>0=>a+b+\frac{1}{2}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}>0 (1)
Mặt khác a+b\geq 2\sqrt{ab}>0 (2)
Nhân từng vế của (1) và (2) ta có :
(a+b)[(a+b)+\frac{1}{2}]\geq 2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})=>(a+b)^{2}+\frac{(a+b)}{2}\geq 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}
Câu hỏi liên quan
-
Tìm b để A =
-
Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.
-
Rút gọn A
-
Giải hệ phương trình với a = 2
-
Tính giá trị biểu thức của A với x =
-
Giải phương trình (1) khi m = -5
-
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E khắc với điểm A. Từ các điểm E, A và B kẻ các tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến kẻ từ E lần lượt cắt các tiếp tuyến từ điểm A và B tại C và D.
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.
-
Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a
-
Kẻ EI vuông góc MN, cắt AN tại D. Tính CD biết ME = 8cm; MN=10cm
-
AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.