Skip to main content
/ Luyện Thi Vào Lớp 10 Môn Toán / Câu hỏi 58944

Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh \frac{a}{3a + b + c} + \frac{b}{3b + a + c} +  \frac{c}{3c + b + a}  ≤ \frac{3}{5} Đẳng thức xảy ra khi nào?

Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh +  +    ≤  Đẳng

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh

\frac{a}{3a + b + c} + \frac{b}{3b + a + c} +  \frac{c}{3c + b + a}  ≤ \frac{3}{5}

Đẳng thức xảy ra khi nào?


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt x = 3a + b + c; y = a + 3b + c; z = a + b + 3c

=> x + y + z = 5(a + b + c) = 5(x - 2a) = 5(y - 2b) = 5(z - 2c)

=> a = \frac{4x - y - z}{10} ; b = \frac{4y - x - z}{10} ; c = \frac{4z - y - x}{10}

=> \frac{a}{3a + b + c} + \frac{b}{3b + a + c} +  \frac{c}{3c + b + a} 

= \frac{4x - y - z}{10x} + \frac{4y - x - z}{10y} + \frac{4z - y - x}{10z} 

= \frac{6}{5} - \frac{1}{10}\left ( \frac{y}{x} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{y} + \frac{x}{z}\right )

Do a, b, c là các số dương nên ta có

\left ( \frac{y}{x} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{y} + \frac{x}{z}\right ) ≥ 6 và kết luận được

\frac{a}{3a + b + c} + \frac{b}{3b + a + c} +  \frac{c}{3c + b + a}  ≤ \frac{3}{5}

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Câu hỏi liên quan

  • Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên

    Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên

    Chi tiết
  • Rút gọn A

    Rút gọn A

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình left{begin{matrix} 12x + y = 25\ x + 2y = 4 end{matrix}right.

    Chi tiết
  • Cho biểu thức:A =

    Cho biểu thức:

    A = left ( frac{3}{sqrt{b}-1}+frac{sqrt{b}-3}{b-1} right ):left ( frac{b+2}{b+sqrt{b}-2}-frac{sqrt{b}}{sqrt{b}+2} right )

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Rút gọn A

    Chi tiết
  • Cho phương trình: ax2 – 2(2a – 1) x+ 3a – 2 = 0 (1)

    Cho phương trình: 

    ax2 – 2(2a – 1) x+ 3a – 2 = 0 (1)

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Giải phương trình với a = -2

    Chi tiết
  • Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác AC

    Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình với a = 2

    Giải hệ phương trình với a = 2

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2và điểm A(0;1)

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2và điểm A(0;1)

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Tìm đường thẳng d biết đường thẳng đó đi qua A(0;1) và có hệ số góc k

    Chi tiết
  • Tính AC và BD biết

    Tính AC và BD biết widehat{AOC} = alpha. Chứng tỏ tích AC.BD không phụ thuộc vào  alpha

    Chi tiết
  • Tìm a để hệ phương trình có một nghiệm số duy nhất thỏa mãn: x2  

    Tìm a để hệ phương trình có một nghiệm số duy nhất thỏa mãn:  x2  - 12x – 14y < 0 

    Chi tiết