Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 6377

Cho a, b, c là các số thực ≠ 0. Chứng minh bất đẳng thức sau: \dpi{100} \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}} + \dpi{100} \frac{b^{2}}{b^{2}+(a+c)^{2}} + \dpi{100} \frac{c^{2}}{c^{2}+(a+b)^{2}} ≥ \dpi{100} \frac{3}{5}

Cho a, b, c là các số thực≠ 0. Chứng minh bất đẳng thức sau:

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a, b, c là các số thực ≠ 0. Chứng minh bất đẳng thức sau: \dpi{100} \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}} + \dpi{100} \frac{b^{2}}{b^{2}+(a+c)^{2}} + \dpi{100} \frac{c^{2}}{c^{2}+(a+b)^{2}} ≥ \dpi{100} \frac{3}{5}


A.
Dấu "=" xảy ra khi -a = b = c
B.
Dấu "=" xảy ra khi a = b = -c
C.
Dấu "=" xảy ra khi a = -b = c
D.
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta áp dụng: (b + c)2 ≤ 2(b2 + c2) ; (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) ; (a + c)2 ≤ 2(a2 + c2).

Vậy: VT ≥ \dpi{100} \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}} + \dpi{100} \frac{b^{2}}{b^{2}+(a+c)^{2}} + \dpi{100} \frac{c^{2}}{c^{2}+(a+b)^{2}}

⇒ VT + 3 ≥ (\dpi{100} \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}} + 1) + (\dpi{100} \frac{b^{2}}{b^{2}+(a+c)^{2}} + 1) + (\dpi{100} \frac{c^{2}}{c^{2}+(a+b)^{2}} + 1)

= \dpi{100} \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{2}+2b^{2}+2c^{2}} + \dpi{100} \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{b^{2}+2a^{2}+2c^{2}} + \dpi{100} \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{c^{2}+2(a^{2}+b^{2})}

= 2(a2 + b2 + c2)[\dpi{100} \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+2c^{2}} + \dpi{100} \frac{1}{b^{2}+2a^{2}+2c^{2}} + \dpi{100} \frac{1}{c^{2}+2a^{2}+2b^{2}}]

Áp dụng ∀ A, B, C > 0, ta có: (A + B + C)(\dpi{100} \frac{1}{A} + \dpi{100} \frac{1}{B} + \dpi{100} \frac{1}{C}) ≥ 9.

Ta viết lại:

VT + 3 ≥ \dpi{100} \frac{2}{5}.(5a2 + 5b2 + 5c2)(\dpi{100} \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+2c^{2}} + \dpi{100} \frac{1}{b^{2}+2a^{2}+2c^{2}} + \dpi{100} \frac{1}{c^{2}+2a^{2}+2b^{2}})

 ≥ \dpi{100} \frac{2}{5}.9 = \dpi{100} \frac{18}{5} ⇒ VT ≥ \dpi{100} \frac{18}{5} - 3 = \dpi{100} \frac{3}{5}

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết