Cho a, b, c là ba số nguyên thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng a5 + b5 + c5 chia hết cho 5.
Câu hỏi
Nhận biếtCho a, b, c là ba số nguyên thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng a5 + b5 + c5 chia hết cho 5.
Đáp án đúng: B
Lời giải của Luyện Tập 365
Ta có a5 – a = a(a4 – 1) = a(a2 – 1)(a2 + 1)
= a(a2 – 1)(a2 – 4 + 5)
= a(a2 – 1)(a2 – 4) + 5a(a2 – 1)
= a(a + 1)(a – 1)(a + 2)(a – 2) + 5a(a2 – 1) chia hết cho 5.
Vì a – 2, a – 1, a, a + 1, a + 2 là 5 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 5
=> a(a + 1)(a – 1)(a + 2)(a – 2) chia hết cho 5
Mặt khác : 5a(a2 – 1) chia hết cho 5
Tương tự có b5 – b chia hết cho 5, c5 – c chia hết cho 5.
Mà a + b + c = 0
Do đó a5 + b5 + c5 = (a5 – a) + (b5 – b) + (c5 – c) chia hết cho 5
Ta có a5 – a = a(a4 – 1) = a(a2 – 1)(a2 + 1)
= a(a2 – 1)(a2 – 4 + 5)
= a(a2 – 1)(a2 – 4) + 5a(a2 – 1)
= a(a + 1)(a – 1)(a + 2)(a – 2) + 5a(a2 – 1) chia hết cho 5.
Vì a – 2, a – 1, a, a + 1, a + 2 là 5 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 5
=> a(a + 1)(a – 1)(a + 2)(a – 2) chia hết cho 5
Mặt khác : 5a(a2 – 1) chia hết cho 5
Tương tự có b5 – b chia hết cho 5, c5 – c chia hết cho 5.
Mà a + b + c = 0
Do đó a5 + b5 + c5 = (a5 – a) + (b5 – b) + (c5 – c) chia hết cho 5
Câu hỏi liên quan
-
Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.
-
Giải hệ phương trình với a = 2
-
Kẻ EI vuông góc MN, cắt AN tại D. Tính CD biết ME = 8cm; MN=10cm
-
Cho biểu thức:
A =
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Rút gọn A
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2và điểm A(0;1)
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Tìm đường thẳng d biết đường thẳng đó đi qua A(0;1) và có hệ số góc k
-
Cho phương trình:
ax2 – 2(2a – 1) x+ 3a – 2 = 0 (1)
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Giải phương trình với a = -2
-
Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt M và N với mọi K
-
Giải hệ phương trình
-
Gọi hoành độ giao điểm 2 điểm M và N lần lượt là x1 và x2. Chứng minh rằng: x1x2=-1, từ đó suy ra tam giác MON là tam giác vuông
-
Tính AC và BD biết
= 
. Chứng tỏ tích AC.BD không phụ thuộc vào