Skip to main content
/ Luyện Thi Vào Lớp 10 Môn Toán / Câu hỏi 57104

Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:  \frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{2a+b+c} ≤ \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})

Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:  ≤ 

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:

 \frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{2a+b+c} ≤ \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

\frac{1}{x}+\frac{1}{y} ≥ \frac{4}{x+y}

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

\frac{1}{a+b+2c}=\frac{1}{(a+c)+(b+c)} ≤ \frac{1}{4}(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}) ≤ \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c})

Tương tự, ta có: 

\frac{1}{a+2b+c} ≤  \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c})

\frac{1}{2a+b+c}  ≤  \frac{1}{16}(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})

Cộng các vế của bất đẳng thức với nhau, ta được:

\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{2a+b+c}  ≤  \frac{1}{16}(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c})=\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c.

Câu hỏi liên quan

  • Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình với a = 2

    Giải hệ phương trình với a = 2

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình left{begin{matrix} 12x + y = 25\ x + 2y = 4 end{matrix}right.

    Chi tiết
  • Tìm b để A =

    Tìm b để A = frac{5}{2}

    Chi tiết
  • Cho Parabol  (P): ax2(a ≠ 0) và đường thẳng d: y=2x

    Cho Parabol  (P): ax2(a ≠ 0) và đường thẳng d: y=2x - a. Tìm điểm a để d tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.

    Chi tiết
  • Kẻ EI vuông góc MN, cắt AN tại D. Tính CD biết ME = 8cm; MN=10cm

    Kẻ EI vuông góc MN, cắt AN tại D. Tính CD biết ME = 8cm; MN=10cm

    Chi tiết
  • Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên

    Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên

    Chi tiết
  • Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN. Từ một điểm A trên tiếp tuyến Mx của nửa đư

    Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN. Từ một điểm A trên tiếp tuyến Mx của nửa đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến thứ hai AE ( E là tiếp điểm). Nối A với N cắt nủa đưởng tròn (O) ở B.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chi tiết
  • Cho phương trình: ax2 – 2(2a – 1) x+ 3a – 2 = 0 (1)

    Cho phương trình: 

    ax2 – 2(2a – 1) x+ 3a – 2 = 0 (1)

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Giải phương trình với a = -2

    Chi tiết
  • Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác AC

    Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.

    Chi tiết