Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 6004

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn:         a + 2b + 4c = 12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:        P = \frac{2ab}{a+2b} + \frac{8bc}{2b+4c} + \frac{4ac}{4c+a}.

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn: a

Câu hỏi

Nhận biết

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn:
        a + 2b + 4c = 12
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
       P = \frac{2ab}{a+2b} + \frac{8bc}{2b+4c} + \frac{4ac}{4c+a}.


A.
GTLN của P là 4
B.
GTLN của P là 5
C.
GTLN của P là 9
D.
GTLN của P là 6
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt X = a; Y = 2b; Z = 4c => X + Y + Z = 12.

Khi đó P = \frac{XY}{X+Y} + \frac{YZ}{Y+Z} + \frac{XZ}{X+Z}

Ta có X + Y ≥  2√XY => \frac{1}{X+Y} ≤  \frac{1}{2\sqrt{XY}} => \frac{XY}{X+Y} ≤  \frac{\sqrt{XY}}{2}

Vậy \frac{XY}{X+Y} ≤  \frac{\sqrt{XY}}{2}.

Tương tự: \frac{YZ}{Z+Y}  ≤  \frac{\sqrt{ZY}}{2}  ;   \frac{XZ}{X+Z} ≤  \frac{\sqrt{XZ}}{2}.

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên

 P = \frac{XY}{X+Y} + \frac{YZ}{Y+Z} + \frac{XZ}{X+Z} ≤  \frac{\sqrt{XZ}}{2}. + \frac{\sqrt{ZY}}{2}  + \frac{\sqrt{XY}}{2}

= \frac{1}{2} ( √XY + √YZ  + √YZ )  ≤  \frac{1}{2} ( X + Y + Z ) = 6

=> P ≤ 6.

Dấu bằng xảy ra khi \left\{\begin{matrix} X=Y=Z\\X+Y+Z=12 \end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix} a=2b=4c\\a+2b+4c=12 \end{matrix}\right.

Vậy GTLN của P là 6 khi a = 4; b = 2; c = 1.

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết