Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 982

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=0. Chứng minh rằng \frac{x+1}{x^{2}+3} + \frac{y+1}{y^{2}+3} + \frac{z+1}{z^{2}+3} ≤ 1

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=0. Chứng minh rằng

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=0. Chứng minh rằng \frac{x+1}{x^{2}+3} + \frac{y+1}{y^{2}+3} + \frac{z+1}{z^{2}+3} ≤ 1


A.
x=y=z=0
B.
x=y=z=-1
C.
x=y=z=2
D.
x=y=z=-2
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có \frac{x+1}{x^{2}+3} + \frac{y+1}{y^{2}+3} + \frac{z+1}{z^{2}+3} ≤ 1

<=> (1- \frac{2x+2}{x^{2}+3}) + (1- \frac{2y+2}{y^{2}+3}) + (1- \frac{2z+2}{z^{2}+3}) ≥ 1

<=> \frac{(x-1)^{2}}{x^{2}+3} + \frac{(y-1)^{2}}{y^{2}+3} + \frac{(z-1)^{2}}{z^{2}+3} ≥ 1  (*)

Sử dụng giả thiết x+y+z=0 và áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 

x2+3=\frac{2}{3}x2+\frac{1}{3}(y+z)2+3

≤ \frac{2}{3}x2+\frac{2}{3}(y2+z2)+3=\frac{1}{3}(2x2+2y2+2z2+9)

Suy ra \frac{(x-1)^{2}}{x^{^{2}}+3} ≥ \frac{3(x-1)^{2}}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9}

Tương tự ta cũng có

\frac{(y-1)^{2}}{y^{2}+3} ≥ \frac{3(y-1)^{2}}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9}; 

\frac{(z-1)^{2}}{z^{2}+3} ≥ \frac{3(z-1)^{2}}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9}

Suy ra VT(*) ≥ \frac{3(x-1)^{2}+3(y-1)^{2}+3(z-1)^{2}}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9} 

= \frac{3x^{2}+3y^{2}+3z^{2}+9}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9}

≥ \frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9} = 1.

Suy ra bất đẳng thức được chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x=y=z=0

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết