Cho tam giác ABC nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: T = 2(sinA + sinB + sinC) + tanA + tanB + tanC.
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác ABC nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: T = 2(sinA + sinB + sinC) + tanA + tanB + tanC.
Đáp án đúng: D
Lời giải của Luyện Tập 365
Xét hàm số f(x) = 2sinx + tanx, ∀x∈(0;
) (C ) f’(x) = 2cosx + cos-2x =>f”(x) = -2sinx + 2cos-3xsinx = 2sinx(
- 1) > 0 ∀x∈(0; 
)
Nên đường cong (C) lõm trên (0; 
). Xem T(
; 2√3) ∈(C ) trên ( 0; 
)
Tiếp tuyến của (C) tại T có p/t Y = f’ (
)(x - 
) + f( 
) = 5(x -
) + 2√3.
Vì f(x) lõm trên (0; 
) và y = 5(x - 
) + 2√3 là một tiếp tuyến của (C ) trên (0; 
) . Nên với ∀x∈(0;
)
Thì f(x) ≥5(x - 
) + 2√3.
Thay x = {A; B; C} của tam giác nhọn ABC ta có (sinA + sinB + sinC) + tanA + tanB + tanC ≥5(A + B + C – π) + 6√3 = 6√3.
Do đó: T ≥6√3. Dấu đẳng thức xảy ra A = B = C = 
Vậy TMN = 6√3 khi tam giác ABC đều.
Xét hàm số f(x) = 2sinx + tanx, ∀x∈(0;) (C ) f’(x) = 2cosx + cos-2x =>f”(x) = -2sinx + 2cos-3xsinx = 2sinx( - 1) > 0 ∀x∈(0; )
Nên đường cong (C) lõm trên (0; ). Xem T(; 2√3) ∈(C ) trên ( 0; )
Tiếp tuyến của (C) tại T có p/t Y = f’ ( )(x - ) + f( ) = 5(x -) + 2√3.
Vì f(x) lõm trên (0; ) và y = 5(x - ) + 2√3 là một tiếp tuyến của (C ) trên (0; ) . Nên với ∀x∈(0;)
Thì f(x) ≥5(x - ) + 2√3.
Thay x = {A; B; C} của tam giác nhọn ABC ta có (sinA + sinB + sinC) + tanA + tanB + tanC ≥5(A + B + C – π) + 6√3 = 6√3.
Do đó: T ≥6√3. Dấu đẳng thức xảy ra A = B = C =
Vậy TMN = 6√3 khi tam giác ABC đều.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=
BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. -
Giải phương trình
=
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.
-
Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.
-
Giải phương trình:
-
Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình
=
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.
-
Tính tích phân I =
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.