Skip to main content

Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn: a+b+c=\frac{3}{4} Chứng minh rằng: \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}≥3 Dấu "=" xảy ra khi:

Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn: a+b+c=

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn: a+b+c=\frac{3}{4} Chứng minh rằng: \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}≥3 Dấu "=" xảy ra khi:


A.
a=b=c=\frac{3}{4}
B.
a=b=c=2
C.
a=b=c=\frac{1}{4}
D.
a=b=c=1
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng-trung bình nhân cho 2 bộ ba số dương ta có:

(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})≥3\sqrt[3]{xyz}.\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}=9 => \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\frac{9}{x+y+z}  (*)

Áp dụng (*) ta có:

P=\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}

\frac{9}{\sqrt[3]{a+3b}+\sqrt[3]{b+3c}+\sqrt[3]{c+3a}}

Áp dụng bất đẳng thức trung bình công-trung bình nhân cho 3 bộ ba số dương ta có:

\sqrt[3]{(a+3b)1.1}≤ \frac{a+3b+1+1}{3}=\frac{1}{3}(a+3b+2)

\sqrt[3]{(b+3c)1.1}\frac{b+3c+1+1}{3}=\frac{1}{3}(b+3c+2

\sqrt[3]{(c+3a)1.1}\frac{c+3a+1+1}{3}=\frac{1}{3}(c+3a+2)

Suy ra \sqrt[3]{a+3b}+\sqrt[3]{b+3c}+\sqrt[3]{c+3a}\frac{1}{3}[4(a+b+c)+6]

\frac{1}{3}[4.\frac{3}{4}+6]=3

Do đó P≥3; dấu "=" xảy ra <=> \left\{\begin{matrix} a+b+c=\frac{3}{4}\\a+3b=b+3c=c+3a=1 \end{matrix}\right.

<=> a=b=c=\frac{1}{4}

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.