Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 7034

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng: \frac{x}{x^{2}+2}=\frac{y}{y^{2}+2}=\frac{z}{z^{2}+2} ≤1 Dấu "=" xảy ra khi:

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng:

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng: \frac{x}{x^{2}+2}=\frac{y}{y^{2}+2}=\frac{z}{z^{2}+2} ≤1 Dấu "=" xảy ra khi:


A.
x=y=z=1
B.
x=y=z=\frac{1}{2}
C.
x=y=z=2
D.
x=y=z=3
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân ta có:

\frac{x}{x^{2}+2}≤\frac{x}{2x+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2x+1)}

Ta cần chứng minh:

(\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2x+1)})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2y+1)})+(\frac{1}{2} - \frac{1}{2(2z+1)}) ≤1

<=> \frac{1}{2x+1}+\frac{1}{2y+1}+\frac{1}{2z+1} ≥1

<=> (2x+1)(2y+1)+(2y+1)(2z+1)+(2z+1)(2x+1)≥ (2x+1)(2y+1)(2z+1)

<=> x+y+z≥3 <=> x+y+z ≥ 3\sqrt[3]{xyz}

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết