Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 6813

Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ab + bc + 2ac.

Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ab + bc + 2ac.


A.
maxP = \frac{\sqrt{3}+7}{2}
B.
maxP = \frac{\sqrt{3}+5}{2}
C.
maxP = \frac{\sqrt{3}+1}{2}
D.
maxP = \frac{\sqrt{3}+2}{2}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có P = ( a + c)b + 2ca ≤ \sqrt{2(a^{2}+c^{2})b} + a2 + c2 = \sqrt{2(1-b^{2})b} +1 – b2 = f( b2)

Với hàm số f(t) = \sqrt{2(1-t)t} + 1 – t, t ∈[0,1].

Ta có: f’ = \tfrac{1-2t}{\sqrt{2(1-t)t}} - 1, f’ = 0 ⇔ t = \frac{3-\sqrt{3}}{6} = t0 ( do khi đó 1 – 2t ≥ 0 ).

Từ đó f(t) đồng biến trên ( 0 , t0) và nghịch biến trên (t0 , 1)

suy ra maxf = f (\frac{3-\sqrt{3}}{6} ) = \frac{\sqrt{3}+1}{2} tức là maxP = \frac{\sqrt{3}+1}{2}chẳng hạn khi b = ±√t0 và a = c = ±\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1-t_{0}^{2}}

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết