Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 6377

Cho a, b, c là các số thực ≠ 0. Chứng minh bất đẳng thức sau: \dpi{100} \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}} + \dpi{100} \frac{b^{2}}{b^{2}+(a+c)^{2}} + \dpi{100} \frac{c^{2}}{c^{2}+(a+b)^{2}} ≥ \dpi{100} \frac{3}{5}

Cho a, b, c là các số thực≠ 0. Chứng minh bất đẳng thức sau:

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a, b, c là các số thực ≠ 0. Chứng minh bất đẳng thức sau: \dpi{100} \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}} + \dpi{100} \frac{b^{2}}{b^{2}+(a+c)^{2}} + \dpi{100} \frac{c^{2}}{c^{2}+(a+b)^{2}} ≥ \dpi{100} \frac{3}{5}


A.
Dấu "=" xảy ra khi -a = b = c
B.
Dấu "=" xảy ra khi a = b = -c
C.
Dấu "=" xảy ra khi a = -b = c
D.
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta áp dụng: (b + c)2 ≤ 2(b2 + c2) ; (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) ; (a + c)2 ≤ 2(a2 + c2).

Vậy: VT ≥ \dpi{100} \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}} + \dpi{100} \frac{b^{2}}{b^{2}+(a+c)^{2}} + \dpi{100} \frac{c^{2}}{c^{2}+(a+b)^{2}}

⇒ VT + 3 ≥ (\dpi{100} \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}} + 1) + (\dpi{100} \frac{b^{2}}{b^{2}+(a+c)^{2}} + 1) + (\dpi{100} \frac{c^{2}}{c^{2}+(a+b)^{2}} + 1)

= \dpi{100} \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{2}+2b^{2}+2c^{2}} + \dpi{100} \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{b^{2}+2a^{2}+2c^{2}} + \dpi{100} \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{c^{2}+2(a^{2}+b^{2})}

= 2(a2 + b2 + c2)[\dpi{100} \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+2c^{2}} + \dpi{100} \frac{1}{b^{2}+2a^{2}+2c^{2}} + \dpi{100} \frac{1}{c^{2}+2a^{2}+2b^{2}}]

Áp dụng ∀ A, B, C > 0, ta có: (A + B + C)(\dpi{100} \frac{1}{A} + \dpi{100} \frac{1}{B} + \dpi{100} \frac{1}{C}) ≥ 9.

Ta viết lại:

VT + 3 ≥ \dpi{100} \frac{2}{5}.(5a2 + 5b2 + 5c2)(\dpi{100} \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+2c^{2}} + \dpi{100} \frac{1}{b^{2}+2a^{2}+2c^{2}} + \dpi{100} \frac{1}{c^{2}+2a^{2}+2b^{2}})

 ≥ \dpi{100} \frac{2}{5}.9 = \dpi{100} \frac{18}{5} ⇒ VT ≥ \dpi{100} \frac{18}{5} - 3 = \dpi{100} \frac{3}{5}

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết