Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 62053

(1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD, biết rằng M(1;2) và N (2;-1).

(1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm

Câu hỏi

Nhận biết

(1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD, biết rằng M(1;2) và N (2;-1).


Đáp án đúng:

Lời giải của Luyện Tập 365

Cách 1: Gọi I giao điểm MN và CD

∆ NAM ~ ∆ NCI  => \frac{NA}{NC}=\frac{NM}{NI} = 3 

=> \overrightarrow{NI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}

=> \left\{\begin{matrix} x_{1}-2=\frac{1}{3}(1)\\ y_{1}+1=\frac{1}{3}.(-3) \end{matrix}\right.

Vậy I (\frac{7}{3} ; -2)

Gọi \overrightarrow{n}  = (a; b) là VTPT của AB

pt (AB) : a (x – 1) + b (y – 2) = 0

pt (CD) : a(x - \frac{7}{3}) + b(y + 2) = 0

Đặt AB = x (x > 0) =>  MH = \frac{x}{4} ; NH = \frac{3}{4} x

Ta có : MN2 = MH2 + NH2 =>  x = 4

d(M; CD) = 4  <=>  |-a + 3b| = 3\sqrt{a^{2}+b^{2}}  <=> 4a2 + 3ab = 0

Với b = 0 =>  a = 0 (loại)

Với b khác  0 chọn b = 1 =>  a  = 0 hoặc a = - \frac{3}{4}

Vậy phương trình CD là : y + 2 = 0 hoặc 3x – 4y - 15 = 0

 

 

Cách 2:

Gọi I giao điểm MN và CD

∆ NAM ~ ∆ NCI  => \frac{NA}{NC}=\frac{NM}{NI} = 3 

=> \overrightarrow{NI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}

=> \left\{\begin{matrix} x_{1}-2=\frac{1}{3}(1)\\ y_{1}+1=\frac{1}{3}.(-3) \end{matrix}\right.

Vậy I (\frac{7}{3} ; -2)

VTCP của MN là  \overrightarrow{a} (1; -3)

VTCP của CD là \overrightarrow{b} (m; n)

cos(MN,CD) = \frac{1}{\sqrt{10}} <=>  8n2 – 6mn = 0 <=>  n = 0 hay n = \frac{3m}{4}

+ TH1: n = 0 =>  CD : y + 2 = 0

+ TH2: n = \frac{3m}{4}   =>  CD : 3x – 4y – 15 = 0                                 

Cách 3

MN = \sqrt{10}

Gọi P là giao điểm của đường MN và đường BC

Gọi Q là hình chiếu vuông góc của N trên BC.

AC = AN + NC = 4NC

NQ / AB = NC / AC = 1/4

→ NQ = AB/4 = MB/2

→ N là trung điểm PM

→ P(xP; yP) thỏa xp = 2xN – xM = 3 và yP = 2yN – yM = –4

→ P(3; –4)

Gọi a là cạnh hình vuông ABCD

MB = a/2; NQ = a/4; QC = a/4; BQ = 3a/4; NB = MN = \sqrt{10}

Theo pytago: NB² = NQ² + BQ²

→ 10 = a²/16 + 9a²/16 → a = 4

Gọi E là giao điểm của PM và CD

NE/MN = NC/AC = 1/3

→  \overrightarrow{NE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MN} → xE = 7/3 và yE = –2 → E(7/3; –2)

Ta lại có BM = 2 và BN = \sqrt{10}

<=> \left\{\begin{matrix} (1-x_{B})^{2}+(2-y_{B})^{2}=4\\ (2-x_{B})^{2}+(-1-y_{B})^{2}=10 \end{matrix}\right.     

<=> \left\{\begin{matrix} 2x_{B}-6y_{B}=-6\\ (1-x_{B})^{2}+(2-y_{B})^{2}=4 \end{matrix}\right.

  → (4 – 3yB)² + (2 – yB)² = 4

→ yB = 2 hoặc yB = 4/5 → B(3; 2) hoặc B(–3/5; 4/5)

Với B(3; 2): \overrightarrow{BP} = (0; –6)

Đường thẳng CD qua E(7/3; –2) và nhận (0; 1) làm VECTOR PHÁP TUYẾN nên có phương trình là  (CD): y + 2 = 0

Với B(–3/5; 4/5): \overrightarrow{BP} = (18/5; –24/5) = (6/5).(3; –4)

Đường thẳng CD qua E(7/3; –2) và nhận (3; –4) làm VECTOR PHÁP TUYẾN nên có phương trình là  (CD): 3(x – 7/3) – 4(y + 2) = 0 hay (CD): 3x – 4y – 15 = 0

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết