Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 6036

Cho điểm M(0;2) và hypebol (H): \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{1}=1.Lấp phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M cắt (H) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho \vec{MA}=\frac{5}{3}\vec{MB}

Cho điểm M(0;2) và hypebol (H):

Câu hỏi

Nhận biết

Cho điểm M(0;2) và hypebol (H): \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{1}=1.Lấp phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M cắt (H) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho \vec{MA}=\frac{5}{3}\vec{MB}


A.
d1:y=3x+2 d2: y=-x+2
B.
d1:y=x+2 d2: y=-x+2
C.
d1:y=x+2 d2: y=-3x+2
D.
d1:y=2x+1 d2: y=-x+2
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Nhận xét: đường thẳng đi qua M(0;2) song song với trục Oy không cắt (H) 

Khi đó (d): y=kx+2. Tọa độ giao điểm của (d) với (H) là nghiệm của hệ phương trình:

\left\{\begin{matrix} x^{2}-4y^{2}=4\\y=kx+2 \end{matrix}\right. => (4k2-1)x2+16kx+20=0   (1)

Để (d) ∩ (H)={A,B} <=> (1) có hai nghiệm phân biệt

<=> \left\{\begin{matrix} 4k^{2}-1\neq 0\\\Delta '>0 \end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix} k\neq \frac{1}{2}\\ 20-16k^{2}>0 \end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix} k\neq \frac{1}{2}\\|k|<\frac{\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.  (2)

Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 là hoành độ của A,B thỏa mãn

\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=-\frac{16}{4k^{2}-1}\\x_{1}x_{2}=\frac{20}{4k^{^{2}}-1} \end{matrix}\right.

Từ điều kiện \vec{MA}=\frac{5}{3}\vec{MB} => x1=\frac{5}{3}x2 Khi đó ta có:

\left\{\begin{matrix} \frac{5}{3}x_{2}+x_{2}=-\frac{16}{4k^{^{2}}-1}\\\frac{5}{3}x_{2}^{2}=\frac{20}{4k^{2}-1} \end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix} x_{2}=-\frac{6}{4k^{2}-1}\\x_{2}^{2}= \frac{12}{4k^{^{2}}-1} \end{matrix}\right. 

=> \frac{36}{(4k^{2}-1)^{2}}=\frac{12}{4k^{2}-1} <=> k= ±1 (thỏa mãn (2))

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn bài toán: 

d1:y=x+2

d2: y=-x+2

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết