Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 6004

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn:         a + 2b + 4c = 12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:        P = \frac{2ab}{a+2b} + \frac{8bc}{2b+4c} + \frac{4ac}{4c+a}.

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn: a

Câu hỏi

Nhận biết

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn:
        a + 2b + 4c = 12
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
       P = \frac{2ab}{a+2b} + \frac{8bc}{2b+4c} + \frac{4ac}{4c+a}.


A.
GTLN của P là 4
B.
GTLN của P là 5
C.
GTLN của P là 9
D.
GTLN của P là 6
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt X = a; Y = 2b; Z = 4c => X + Y + Z = 12.

Khi đó P = \frac{XY}{X+Y} + \frac{YZ}{Y+Z} + \frac{XZ}{X+Z}

Ta có X + Y ≥  2√XY => \frac{1}{X+Y} ≤  \frac{1}{2\sqrt{XY}} => \frac{XY}{X+Y} ≤  \frac{\sqrt{XY}}{2}

Vậy \frac{XY}{X+Y} ≤  \frac{\sqrt{XY}}{2}.

Tương tự: \frac{YZ}{Z+Y}  ≤  \frac{\sqrt{ZY}}{2}  ;   \frac{XZ}{X+Z} ≤  \frac{\sqrt{XZ}}{2}.

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên

 P = \frac{XY}{X+Y} + \frac{YZ}{Y+Z} + \frac{XZ}{X+Z} ≤  \frac{\sqrt{XZ}}{2}. + \frac{\sqrt{ZY}}{2}  + \frac{\sqrt{XY}}{2}

= \frac{1}{2} ( √XY + √YZ  + √YZ )  ≤  \frac{1}{2} ( X + Y + Z ) = 6

=> P ≤ 6.

Dấu bằng xảy ra khi \left\{\begin{matrix} X=Y=Z\\X+Y+Z=12 \end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix} a=2b=4c\\a+2b+4c=12 \end{matrix}\right.

Vậy GTLN của P là 6 khi a = 4; b = 2; c = 1.

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết