Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 6002

Cho đường tròn (C) có bán kính R = 1, tiếp xúc với đường thẳng (d). Tính thể tích của vật thể tròn xoay được sinh ra khi miền hình tròn quay quanh (d) một vòng.

Cho đường tròn (C) có bán kính R = 1, tiếp xúc với đường thẳng (d). Tính

Câu hỏi

Nhận biết

Cho đường tròn (C) có bán kính R = 1, tiếp xúc với đường thẳng (d). Tính thể tích của vật thể tròn xoay được sinh ra khi miền hình tròn quay quanh (d) một vòng.


A.
V = 2\pi ^{3} 
B.
V = 2
C.
V = 2\pi ^{2} 
D.
V = \pi ^{2} 
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Xét đường tròn tâm I(0 ; 1), bán kính bằng 1 trong hệ tọa độ Oxy. Thể tích vật thể cần tìm chính bằng thể tích vật thể do miền hình tròn tâm I(0 ; 1) quay quanh Ox sinh ra.

Phương trình đường tròn là: x2 + (y – 1)2 = 1 ⇒ y = 1 ± \sqrt{1-x^{2}} ; x ∈ [-1 ; 1].

Thể tích vật tròn xoay sinh ra bằng hiệu V1 – V2, với V1, V2 là thể tích hai vật thể tròn xoay đó.

Miền (EABCDE) quay quanh Ox. Miền (EAOCDOE) quay quanh Ox.

Miền (EABCDE): \left\{\begin{matrix} y=1+\sqrt{1-x^{2}}\\y=0 \\ x=-1;x=1 \end{matrix}\right.

Miền (EAOCDOE): \left\{\begin{matrix} y=1-\sqrt{1-x^{2}}\\y=0 \\x=-1;x=1 \end{matrix}\right.

V1 = \pi\int_{-1}^{1}(1 + \sqrt{1-x^{2}})2 dx

V2 =  \pi\int_{-1}^{1}(1 + \sqrt{1-x^{2}})2 dx

⇒ V = V1 – V2, = (\pi\int_{-1}^{1}(1 + \sqrt{1-x^{2}})2 dx - \pi\int_{-1}^{1}(1 + \sqrt{1-x^{2}})2 dx)

⇒ V = 4 \pi\int_{-1}^{1}(1 + \sqrt{1-x^{2}}) dx

Ta tính tích phân: I = \int_{-1}^{1}(1 + \sqrt{1-x^{2}}) dx

Đặt: x = sint , t ∈ [-\frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2}] ; dx = costdt

Đổi cận:

x

-1

1

t

-\frac{\pi }{2}

  \frac{\pi }{2}

 Ta được: V = 4\pi\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-sin^{2}t}.costdt = 2\pi\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}2cos2 tdt

= 2\pi\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(1 + cos2t)dt

= 2\pi\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}dt + 2\pi\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}cos2t.dt = 2\dpi{100} \pi ^{2} ⇒ V = 2\dpi{100} \pi ^{2} (đvtt)

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết