Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 5849

Cho 3 số thực x,y,z thay đổi thỏa mãn \left\{\begin{matrix} x+y+z=0\\x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \end{matrix}\right. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= x3+y3+z3.

Cho 3 số thực x,y,z thay đổi thỏa mãn

Câu hỏi

Nhận biết

Cho 3 số thực x,y,z thay đổi thỏa mãn \left\{\begin{matrix} x+y+z=0\\x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \end{matrix}\right. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= x3+y3+z3.


A.
max P=3
B.
max P=\sqrt{\frac{1}{6}}
C.
max P=\sqrt{\frac{1}{3}}
D.
max P=\sqrt{\frac{2}{3}}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ x+y+z=0 => z=-(x+y) => P=x3+y3–(x+y)3=3xyz

Từ x2+y2+z2=1 => (x+y)2-2xy+z2=1 => 2z2-2xy=1 => xy=z2-\frac{1}{2}

Vậy P=3x(z2-\frac{1}{2}).

Do 1=x2+y2+z2 ≥\frac{1}{2} (x+y)2+z2=\frac{3}{2}z2 => -\sqrt{\frac{2}{3}}≤ z ≤ \sqrt{\frac{2}{3}}

Đặt f(z)=3z3-\frac{3}{2}z với z∈ [-\sqrt{\frac{2}{3}};\sqrt{\frac{2}{3}}]

Ta có f'(z)=9z2-\frac{3}{2}=0 <=> z=±\sqrt{\frac{1}{6}}

Bảng biến thiên:

Ta có f(-\sqrt{\frac{1}{6}})=\sqrt{\frac{1}{6}}, f(\sqrt{\frac{2}{3}})=\sqrt{\frac{1}{6}} và từ bảng biến thiên, suy ra

f(z)≤\sqrt{\frac{1}{6}}, \forallz ∈ [-\sqrt{\frac{2}{3}};\sqrt{\frac{2}{3}}]

Mặt khác z=\sqrt{\frac{2}{3}}, x=y=-\sqrt{\frac{1}{6}} thỏa mãn đề bải và f(z)=\sqrt{\frac{1}{6}}

Vậy max P=\sqrt{\frac{1}{6}}

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết