Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4√3x – 4 = 0. Cho điểm A(2√3 ; 0 ). Đường tròn ( C’ ) di động nhưng luôn luôn qua điểm A và tiếp xúc với đường tròn ( C ). Chứng minh các tâm của các đường tròn ( C’ ) luôn luôn nằm trên một hypebol cố định. Viết phương trình hypebol đó.
Câu hỏi
Nhận biếtTrong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4√3x – 4 = 0. Cho điểm A(2√3 ; 0 ). Đường tròn ( C’ ) di động nhưng luôn luôn qua điểm A và tiếp xúc với đường tròn ( C ). Chứng minh các tâm của các đường tròn ( C’ ) luôn luôn nằm trên một hypebol cố định. Viết phương trình hypebol đó.
- 
= 1. 
- 
= 1. 
- 
= 1. 
- 
= 1. Đáp án đúng: C
Lời giải của Luyện Tập 365
Đường tròn (C ): x2 + y2 + 4√3x – 4 = 0
⇔ ( x2 + 4√3x + 12) + y2 -16 = 0.
⇔ ( x+ 2√3)2 + y2 = 16
Do đó đường tròn ( C ) có tâm I(-2√3; 0) và bán kính đường tròn ( C ) là R = 4
Ta gọi I’(x0;y0),R’ là tâm và bán kính đường tròn (C’ )
=>(C’): (x – x0)2 + ( y – y0)2 = R’2
Do A(2√3; 0) ∈(C’)=> (2√3 - x0)2 + ( 0 – y0)2 = (R’)2 ( 1)
Ta có: ( C ) và (C’) tiếp xúc ngoài ⇔ II’2 = ( R + R’)2 ⇔ (x0 + 2√3 )2 + y02 = (4 + R’)2;
⇔ 16 + 8R’ + R’2 = x02 + 4√3x0 + 12 + y02 (2)
Thế R’2 = (2√3 - x0)2 + y02 vaò (2)
=>16 + 8R’ + (2√3 - x0)2 + y02 = x02 + 4√3x0 + 12 + y02
⇔ 16+ 8R’ + 12 - 4√3x0 + x02 = x02 + 4√3x0 + 12
⇔ 8R’ = 8√3x0 - 16 => R’ = √3x0 – 2 (3)
Thế lại (3) vào (1) ta được:
(2√3 - x0)2 + y02 = (√3x0 – 2)2 ⇔12 - 4√3x0 + x02 + y02 = x02 - 4√3x0 + 4
⇔ 2x02 - y02 = 8 ⇔ 
- 
= 1.
Vậy tọa độ (x0;y0) của I’ thỏa mãn (4) là phương trình của hypebol có độ dài trục thực là 4, trục ảo là 4√2 ( a =2; b =2√2), tiêu cự 2c = 4√3.
Đường tròn (C ): x2 + y2 + 4√3x – 4 = 0
⇔ ( x2 + 4√3x + 12) + y2 -16 = 0.
⇔ ( x+ 2√3)2 + y2 = 16
Do đó đường tròn ( C ) có tâm I(-2√3; 0) và bán kính đường tròn ( C ) là R = 4
Ta gọi I’(x0;y0),R’ là tâm và bán kính đường tròn (C’ )
=>(C’): (x – x0)2 + ( y – y0)2 = R’2
Do A(2√3; 0) ∈(C’)=> (2√3 - x0)2 + ( 0 – y0)2 = (R’)2 ( 1)
Ta có: ( C ) và (C’) tiếp xúc ngoài ⇔ II’2 = ( R + R’)2 ⇔ (x0 + 2√3 )2 + y02 = (4 + R’)2;
⇔ 16 + 8R’ + R’2 = x02 + 4√3x0 + 12 + y02 (2)
Thế R’2 = (2√3 - x0)2 + y02 vaò (2)
=>16 + 8R’ + (2√3 - x0)2 + y02 = x02 + 4√3x0 + 12 + y02
⇔ 16+ 8R’ + 12 - 4√3x0 + x02 = x02 + 4√3x0 + 12
⇔ 8R’ = 8√3x0 - 16 => R’ = √3x0 – 2 (3)
Thế lại (3) vào (1) ta được:
(2√3 - x0)2 + y02 = (√3x0 – 2)2 ⇔12 - 4√3x0 + x02 + y02 = x02 - 4√3x0 + 4
⇔ 2x02 - y02 = 8 ⇔ - = 1.
Vậy tọa độ (x0;y0) của I’ thỏa mãn (4) là phương trình của hypebol có độ dài trục thực là 4, trục ảo là 4√2 ( a =2; b =2√2), tiêu cự 2c = 4√3.
Câu hỏi liên quan
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d:
=
=
, d':
=
=
và tạo với đường thẳng d một góc 
. -
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d:
=
=
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4. -
Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.
-
Cho hàm số y =
. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất. -
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.
-
Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.
-
Giải phương trình (1-
).![\sqrt[3]{2-x}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2013/1031/75_220_2.gif)
= x. -
Giải hệ phương trình
(x, y
R) -
Tính tích phân I=
