Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 5812

Các số thực x, y thay đổi luôn thỏa mãn x + y = 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = (x3 + 1)(y3 + 1).

Các số thực x, y thay đổi luôn thỏa mãn x + y = 1. Hãy tìm giá trị lớn n

Câu hỏi

Nhận biết

Các số thực x, y thay đổi luôn thỏa mãn x + y = 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = (x3 + 1)(y3 + 1).


A.
max M = 4 khi và chỉ khi (x; y) = (0; 1) hoặc (x; y) = (1; 0)
B.
max M = 4 khi và chỉ khi (x; y)=\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2};\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right ) hoặc (x; y)=\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )
C.
max M = 4 khi và chỉ khi (x; y)=\left ( \frac{1}{2};\frac{1}{2} \right ) 
D.
max M = 5 khi và chỉ khi (x; y)=\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2};\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right ) hoặc (x; y)=\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: M = x3y3 + x3 +y3 + 1 = x3y3 + (x + y)(x2 – xy + y2) + 1

                = x3y3 + (x + y)[(x + y)2 – 3xy] + 1.

Đặt xy = t, do (x + y)2 ≥ 4xy => t ≤ \frac{1}{4} . Đặt f(t) = t3 – 3t + 2, t ≤ \frac{1}{4}.

Ta có: f’(t) =3t2 – 3 = 0 <=> t = -1 (do t ≤ \frac{1}{4}), f(-1) = 4 , \lim_{t\rightarrow -\infty }f(t)= - \inftyLập bảng biến thiên => max M = max f(t) = f(-1) = 4 <=> \left\{\begin{matrix} x+y=1\\xy=-1 \end{matrix}\right.

=>  x, y là hai nghiệm của phương trình: u2 – u – 1 = 0.

Vậy max M = 4 khi và chỉ khi (x; y)=\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2};\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )

 hoặc (x; y)=\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết