Skip to main content
/ Luyện Thi Vào Lớp 10 Môn Toán / Câu hỏi 57608

Chứng minh rằng: \frac{a +b}{\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)}}  ≥ \frac{1}{2}  với a, b là các số dương.

Chứng minh rằng:   ≥   với a, b là các số dương.

Câu hỏi

Nhận biết

Chứng minh rằng: \frac{a +b}{\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)}}  ≥ \frac{1}{2}  với a, b là các số dương.


A.
Click để xem lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: \frac{a+b}{\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)}}=\frac{2(a+b)}{\sqrt{4a(3a+b)}+\sqrt{4b(3b+a)}}

Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho các số dương ta được:

\sqrt{4a(3a+b)}  ≤ \frac{4a+(3a+b)}{2}=\frac{7a+b}{2}      (2)

\sqrt{4b(3b+a)}  ≤  \frac{4b+(3b+a)}{2}=\frac{7b+a}{2}       (3)

Từ (2)và (3) suy ra: 

 \sqrt{4a(3a+b)}  + \sqrt{4b(3b+a)}  ≤ 4a + 4b    (4)

Từ (1) và (4) suy ra: 

\frac{a+b}{\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)}}  ≥ \frac{2(a+b)}{4a+4b}=\frac{1}{2}

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b

Câu hỏi liên quan

  • Tính AC và BD biết

    Tính AC và BD biết widehat{AOC} = alpha. Chứng tỏ tích AC.BD không phụ thuộc vào  alpha

    Chi tiết
  • Kẻ EI vuông góc MN, cắt AN tại D. Tính CD biết ME = 8cm; MN=10cm

    Kẻ EI vuông góc MN, cắt AN tại D. Tính CD biết ME = 8cm; MN=10cm

    Chi tiết
  • Giải phương trình với a = -2

    Giải phương trình với a = -2

    Chi tiết
  • Tính giá trị biểu thức của A với x =

    Tính giá trị biểu thức của A với x = frac{1}{2}

    Chi tiết
  • Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .

    Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .

    Chi tiết
  • Cho phương trình x2- 4x + m = 0 (1), với m là tham số.

    Cho phương trình x2- 4x + m = 0 (1), với m là tham số.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Giải phương trình (1) khi m = -5

    Chi tiết
  • Cho Parabol  (P): ax2(a ≠ 0) và đường thẳng d: y=2x

    Cho Parabol  (P): ax2(a ≠ 0) và đường thẳng d: y=2x - a. Tìm điểm a để d tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.

    Chi tiết
  • Rút gọn A

    Rút gọn A

    Chi tiết
  • Cho hệ phương trình:

    Cho hệ phương trình: left{begin{matrix} x + ay = 3a\ ax - y = a^{2}-2 end{matrix}right.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Giải hệ phương trình với a = 2

    Chi tiết
  • Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên

    Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên

    Chi tiết