Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 5474

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, khoảng cách từ tâm I của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng \frac{a}{6}. Tính thể tích của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, khoảng cách từ

Câu hỏi

Nhận biết

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, khoảng cách từ tâm I của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng \frac{a}{6}. Tính thể tích của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.


A.
VABCA’B’C’ = \frac{3\sqrt{2}a^{3}}{11}(đvtt)
B.
VABCA’B’C’ = \frac{3\sqrt{2}a^{3}}{13}(đvtt)
C.
VABCA’B’C’ = \frac{3\sqrt{2}a^{3}}{16} (đvtt)
D.
VABCA’B’C’ = \frac{3\sqrt{2}a^{3}}{14} (đvtt)
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ : A(\frac{a}{2} ; 0 ; 0); B (- \frac{a}{2}; 0 ; 0);

C( 0 ; \frac{a\sqrt{3}}{2};0). Đặt BB’ = m; A’( \frac{a}{2}; 0 ; m); B’(- \frac{a}{2}; 0; m);

C’(0 ;\frac{a\sqrt{3}}{2}  ; m).

Gọi I là tâm ∆ABC =>I(0; \frac{a\sqrt{3}}{6} ;0); \overrightarrow{A'B}  = (-a;0;-m); \overrightarrow{A'C} = (- \frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};- m) => [\overrightarrow{A'B};\overrightarrow{A'C} ] = ( \frac{am\sqrt{3}}{2};- \frac{am}{2}; -\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2} )

Chọn vectơ pháp tuyến của (A’BC) : \vec{n} = (m√3; - m; -a√3).

                                       

Phương trình mặt phẳng (A’BC) : m√3(x + \frac{a}{2}) – my - a√3z  = 0.

Theo giả thiết : d(I, (A’BC)) = \frac{|\frac{am\sqrt{3}}{2}-\frac{am\sqrt{3}}{6}|}{\sqrt{4m^{2}+3a^{2}}} = \frac{a}{6}

⇔ \frac{|2am\sqrt{3}|}{\sqrt{4m^{2}+3a^{2}}} = a ⇔ 2√3|m| = \sqrt{4m^{2}+3a^{2}}   ⇔ 12m2 = 4m2+ 3a2 => m = \frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{8}}

Vậy VABCA’B’C’ = \frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{8}}.\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a = \frac{3a^{3}}{8\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}a^{3}}{16} (đvtt)

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết