Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 5422

Tính diện tích miền phẳng D:              \left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{24}x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\\ y=x.2^{-x} \end{matrix}\right.

Tính diện tích miền phẳng D: &

Câu hỏi

Nhận biết

Tính diện tích miền phẳng D:              \left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{24}x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\\ y=x.2^{-x} \end{matrix}\right.


A.
\frac{-1}{2ln2}+\frac{3}{4ln^{2}2}+\frac{1}{36}
B.
\frac{-1}{4ln2}+\frac{3}{4ln^{2}2}+\frac{1}{36}
C.
\frac{-1}{4ln2}+\frac{3}{4ln^{2}2}+\frac{1}{18}
D.
\frac{1}{4ln2}+\frac{3}{4ln^{2}2}+\frac{1}{18}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Với bài tập này việc vẽ hình là khó thực hiện tuy vậy bằng cách áp dụng đúng lý thuyết chúng ta có thể tính diện tích miền D dễ dàng.

Trước hết ta tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị.

Xét phương trình: \frac{1}{24}x^{2}\sqrt{x^{3}+1} =x.2^{-x}           (*)

Điều kiện: x ≥ -1.

           (*) <=> \left\{\begin{matrix} x=0\\ \frac{1}{24}x\sqrt{x^{3}+1}=2^{-x} \end{matrix}\right.

Nhận thấy trên tập (-1; 0) hệ vô nghiệm.

Trên tập (0; +∞) phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 (hàm số luôn đồng biến trên tập này). Vậy diện tích của miền phẳng là:

           S=\int_{0}^{2}|x.2^{-x}-\frac{1}{24}x^{2}\sqrt{x^{3}+1}|dx

             = |\int_{0}^{2}x.2^{-x}-\frac{1}{24}x^{2}\sqrt{x^{3}+1}dx|

             = |\int_{0}^{2}(x.2^{-x}dx-\int_{0}^{2}\frac{1}{24}x^{2}\sqrt{x^{3}+1})dx|

 Ta tính I1= \int_{2}^{0}x2^{-x}dx . Tích phân này có thể tính như sau:

Đặt \left\{\begin{matrix} u=x\\dv=2^{-x} dx \end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix} du=dx\\v=\frac{2^{-x}}{ln2}. \end{matrix}\right. Do đó:

I1= \int_{2}^{0}x2^{-x}dx = -x\frac{2^{-x}}{ln2}|_{0}^{2} +\frac{1}{ln2}\int_{0}^{2}2^{-x}dx

   =-\frac{1}{2ln2}+\frac{1}{ln2}\frac{-2^{-x}}{ln2}|_{0}^{2} = -\frac{1}{2ln2}+\frac{3}{4ln^{2}2}.

I2=\frac{1}{24}\int_{0}^{2}x^{2}\sqrt{x^{3}+1}dx = \frac{1}{27}\sqrt{x^{3}+1}|_{0}^{2}=\frac{1}{36}

Vậy S =|I1+ I2| = \left | \frac{-1}{2ln2} +\frac{3}{4ln^{2}2}+\frac{1}{36}\right | = \frac{-1}{2ln2}+\frac{3}{4ln^{2}2}+\frac{1}{36} (đvdt)

 

 


 

 

 

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết