Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 5403

Giải phương trình: z3 + (1 – 2i)z2 + (1 – i)z – 2i = 0. Biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo.

Giải phương trình: z3 + (1 – 2i)z2 + (1 – i)z – 2i

Câu hỏi

Nhận biết

Giải phương trình: z3 + (1 – 2i)z2 + (1 – i)z – 2i = 0. Biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo.


A.
 z = 6i 
B.
 z = 4i 
C.
 z = 3i 
D.
 z = i 
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Giả sử nghiệm thuần ảo của phương trình là z = bi, thay vào phương trình ta có 

   (bi)3 + (1 – 2i)(bi)2 + (1 – i)(bi) – 2i = 0

⇔  (b - b2) + (-b3 + 2b2 + b -2)i = 0 ⇔ \left\{\begin{matrix} -b^{3}+2b^{2}+b-2=0\\b-b^{2}=0 \end{matrix}\right. => b = 1

=> Phương trình có nghiệm z = i

Ta có  z3 + (1 – 2i)z2+ (1 – 2i)z – 2i = 0 ⇔ \left\{\begin{matrix} z=i\\z^{2}+(1-i)z+2=0 \end{matrix}\right.  (1)

Giải (1) ∆  = -2i - 8; Giả dử w = x + yi là căn bậc hai của ∆ .

Ta có (x + yi)2 = -2i – 8 ⇔ \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=-8\\2xy=-2 \end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=-8(2)\\xy=-1(3) \end{matrix}\right.

Thay vào (3) vào (2) ta có: (x + yi)2 = -2i – 8 x2 - = - 8 ⇔ x4 + 8x2 -1 = 0  

⇔ \begin{bmatrix} x=\sqrt{\sqrt{17}-4}\\x=-\sqrt{\sqrt{17}-4} \end{bmatrix} 

Lấy x = \sqrt{\sqrt{17}-4}  => y = \sqrt{\sqrt{17}+4} 

=> \sqrt{\Delta } = \sqrt{\sqrt{17}-4}  - \sqrt{\sqrt{17}+4} i

Vậy phương trình có nghiệm z = i hoặc z = \frac{i-1+\sqrt{\Delta }}{2a};

 z = \frac{i-1-\sqrt{\Delta }}{2a}.

 

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết