Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định nằm trong đường tròn và không trùng với tâm O. Qua điểm A vẽ một dây tùy ý. Tìm tập hợp giao điểm N của các tiếp tuyến với đường tròn mà hai tiếp điểm là hai đầu của dây đó.
Câu hỏi
Nhận biếtCho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định nằm trong đường tròn và không trùng với tâm O. Qua điểm A vẽ một dây tùy ý. Tìm tập hợp giao điểm N của các tiếp tuyến với đường tròn mà hai tiếp điểm là hai đầu của dây đó.
Đáp án đúng: D
Lời giải của Luyện Tập 365
Thuận: Giả sử dây cung PQ đi qua A. Hai tiếp tuyến qua P và Q cắt nhau tại N, ON cắt PQ tại C. Từ N kẻ đường thẳng n vuông góc với OA, cắt đường thẳng OA tại B.
Hai tam giác vuông AOC và NOB đồng dạng (có góc AOC chung)
=> 
=> 
Trong ∆ OPN (OP ┴ PN bán kính vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm), ta có:
Do đó 
(1) , OA cố định, R không đổi nên OB không đổi, điểm B nằm trên tia OA nên điểm B cố định. Vậy điểm N nằm trên đường thẳng n vuông góc với tia OA tại B.
Đảo: Lấy điểm N' bất kì trên đường thẳng n. Từ N' kẻ tiếp tuyến N'P', N'Q' với đường tròn (O; R) (P' và Q' là tiếp điểm).
Ta phải chứng minh P'Q' đi qua A.
Thật vậy giả sử P'Q' cắt ON' tại C' và tia OA tại A'.
Chứng minh tương tự như phần thuận ta có: 
(2)
So sánh (1) và (2) suy ra 
=> OA' = OA
Vậy trên tia OB, A' trùng với A, hay P'Q' đi qua A.
Kết luận: Tập hợp giao điểm N là đường thẳng n vuông góc với tia OA tại B mà 
Thuận: Giả sử dây cung PQ đi qua A. Hai tiếp tuyến qua P và Q cắt nhau tại N, ON cắt PQ tại C. Từ N kẻ đường thẳng n vuông góc với OA, cắt đường thẳng OA tại B.
Hai tam giác vuông AOC và NOB đồng dạng (có góc AOC chung)
=> =>
Trong ∆ OPN (OP ┴ PN bán kính vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm), ta có:
Do đó (1) , OA cố định, R không đổi nên OB không đổi, điểm B nằm trên tia OA nên điểm B cố định. Vậy điểm N nằm trên đường thẳng n vuông góc với tia OA tại B.
Đảo: Lấy điểm N' bất kì trên đường thẳng n. Từ N' kẻ tiếp tuyến N'P', N'Q' với đường tròn (O; R) (P' và Q' là tiếp điểm).
Ta phải chứng minh P'Q' đi qua A.
Thật vậy giả sử P'Q' cắt ON' tại C' và tia OA tại A'.
Chứng minh tương tự như phần thuận ta có: (2)
So sánh (1) và (2) suy ra => OA' = OA
Vậy trên tia OB, A' trùng với A, hay P'Q' đi qua A.
Kết luận: Tập hợp giao điểm N là đường thẳng n vuông góc với tia OA tại B mà
Câu hỏi liên quan
-
Rút gọn A
-
Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên
-
Tính giá trị biểu thức của A với x =
-
Giải phương trình (1) khi m = -5
-
Chứng minh DM.CE=DE.CM
-
Giải hệ phương trình với a = 2
-
Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.
-
Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt M và N với mọi K
-
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E khắc với điểm A. Từ các điểm E, A và B kẻ các tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến kẻ từ E lần lượt cắt các tiếp tuyến từ điểm A và B tại C và D.
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.
-
Cho Parabol (P): ax2(a ≠ 0) và đường thẳng d: y=2x - a. Tìm điểm a để d tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.