Cho hai đường tròn đồng tâm và một điểm M cố định trên đường tròn nhỏ. Qua M kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau, một đường cắt đường tròn nhỏ tại A khác M, đường kia cắt đường tròn lớn ở B và C. Khi hai đường thẳng này quay quanh M mà vẫn vuông góc với nhau. Chứng minh: Trả lời câu hỏi dưới đây:Tổng MA2 + MB2 + MC2 không đổi.
Câu hỏi
Nhận biếtCho hai đường tròn đồng tâm và một điểm M cố định trên đường tròn nhỏ. Qua M kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau, một đường cắt đường tròn nhỏ tại A khác M, đường kia cắt đường tròn lớn ở B và C. Khi hai đường thẳng này quay quanh M mà vẫn vuông góc với nhau. Chứng minh:
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Tổng MA2 + MB2 + MC2 không đổi.
Đáp án đúng: A
Lời giải của Luyện Tập 365
Ta có MC = 2HI + IC (H là trung điểm của MI, là trung điểm của BC nên
MB = IC) nên MC = 2HI + MB.
=> MC2 = 4HI2 + MB2 + 4HI.MB = 4HI2 + MB2 + 2MI.MB
MA2 = 4OH2 (MA = 2OH)
Vậy MA2 + MB2 + MC2 = 4OH2 + MB2 + 4HI2 + MB2 + 2MI.MB
= 4r2 + 2MB(MB + MI) = 4r2 + 2MB.MC.
Ta phải chứng minh MB.MC không đổi.
Thật vậy MO cắt đường tròn lớn tại P và Q.
∆ MBP ~ ∆ MCQ (g.g) => 
=> MB.MC = MP.MQ =(R – r)(R + r) = R2 – r2 (không đổi)
Do đó MA2 + MB2 + MC2 = 4r2 + 2R2 – 2r2 = 2R2 + 2r2 (không đổi).
Ta có MC = 2HI + IC (H là trung điểm của MI, là trung điểm của BC nên
MB = IC) nên MC = 2HI + MB.
=> MC2 = 4HI2 + MB2 + 4HI.MB = 4HI2 + MB2 + 2MI.MB
MA2 = 4OH2 (MA = 2OH)
Vậy MA2 + MB2 + MC2 = 4OH2 + MB2 + 4HI2 + MB2 + 2MI.MB
= 4r2 + 2MB(MB + MI) = 4r2 + 2MB.MC.
Ta phải chứng minh MB.MC không đổi.
Thật vậy MO cắt đường tròn lớn tại P và Q.
∆ MBP ~ ∆ MCQ (g.g) =>
=> MB.MC = MP.MQ =(R – r)(R + r) = R2 – r2 (không đổi)
Do đó MA2 + MB2 + MC2 = 4r2 + 2R2 – 2r2 = 2R2 + 2r2 (không đổi).
Câu hỏi liên quan
-
Giải hệ phương trình với a = 2
-
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN. Từ một điểm A trên tiếp tuyến Mx của nửa đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến thứ hai AE ( E là tiếp điểm). Nối A với N cắt nủa đưởng tròn (O) ở B.
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB
-
Tìm b để A =
-
AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.
-
Tìm a để hệ phương trình có một nghiệm số duy nhất thỏa mãn: x2 - 12x – 14y < 0
-
Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB
-
Tìm đường thẳng d biết đường thẳng đó đi qua A(0;1) và có hệ số góc k
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2và điểm A(0;1)
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Tìm đường thẳng d biết đường thẳng đó đi qua A(0;1) và có hệ số góc k
-
Gọi hoành độ giao điểm 2 điểm M và N lần lượt là x1 và x2. Chứng minh rằng: x1x2=-1, từ đó suy ra tam giác MON là tam giác vuông
-
Tính giá trị biểu thức của A với x =
