Skip to main content

Cho nửa đường tròn O, đườngkính AB cố định. H là một điểm bất kì trên cung \dpi{100} \widehat{AB}. Trên tia BH lấy một điểm D sao cho H là trung điểm của BD. Đoạn thẳng DO cắt AH tại M. Tìm quỹ tích điểm M.

Cho nửa đường tròn O, đườngkính AB cố định. H là một điểm bất kì trên cung . Trên tia BH

Câu hỏi

Nhận biết

Cho nửa đường tròn O, đườngkính AB cố định. H là một điểm bất kì trên cung \dpi{100} \widehat{AB}. Trên tia BH lấy một điểm D sao cho H là trung điểm của BD. Đoạn thẳng DO cắt AH tại M. Tìm quỹ tích điểm M.


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Phần thuận : Dễ dàng nhận thấy M là trọng tâm của tam giác ABD nên 

\dpi{100} \frac{AM}{AH} = \dpi{100} \frac{2}{3}. Từ M kẻ MN // OH .

Ta có \dpi{100} \frac{AN}{AO} = \dpi{100} \frac{AM}{AH} = \dpi{100} \frac{MN}{OH} = \dpi{100} \frac{2}{3}

Từ hệ thức này suy ra N là một điểm cố định vì A, O cố định ;

MN = \dpi{100} \frac{2}{3}OH ( OH là bán kính đường tròn tâm O đường kính AB) nên OH = R không đổi. Do đó M nằm trên nửa đường tròn (N, \dpi{100} \frac{2}{3}R) cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn đã cho 

Phần đảo: Lấy một điểm M' ∈ ( N, \dpi{100} \frac{2}{3}R) (R là bán kính đường tròn (O)) 

AM' cắt đường tròn (O; R) tại H' .Trên tia BH' lấy điểm D' sao cho H'D' = H'B. Nối D' với O ta phải chúng minh OD' đi qua M'

Thật vậy, xét ∆AOH' có \dpi{100} \frac{NM'}{OH'} = \dpi{100} \frac{\frac{2}{3}R}{R} = \dpi{100} \frac{2}{3} ( do M' ∈ ( N, \dpi{100} \frac{2}{3}R)) và H' ∈ (O; R) nên 

\dpi{100} \frac{AN}{AO} = \dpi{100} \frac{NM'}{OH'} = \dpi{100} \frac{2}{3} => MN' // OH'

Vậy  \dpi{100} \frac{AM'}{AH'} = \dpi{100} \frac{2}{3} => M' là trọng tâm của ∆AND'. Do đó trung tuyến D'O phải đi qua M'

Kết luận : Quỹ tích điểm M là đường tròn (N, r) ( r = \dpi{100} \frac{2}{3}R) cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB và chứa nửa đường tròn (O; R), (N nằm trên bán kính OA và \dpi{100} \frac{AN}{AO} = \dpi{100} \frac{2}{3})

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.