Cho hai đường thẳng y = a1x + b1 (d1) và y = a2x + b2 (d2) vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Chứng minh rằng (d1) và (d2) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a1.a2 = -1
Câu hỏi
Nhận biếtCho hai đường thẳng y = a1x + b1 (d1) và y = a2x + b2 (d2) vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Chứng minh rằng (d1) và (d2) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a1.a2 = -1
Đáp án đúng: A
Lời giải của Luyện Tập 365
Cho hai đường thẳng:
y = a1x + b1 (d1)
y = a2x + b2 (d2)
Ta phải chứng minh (d1) ⊥ (d2) => a1.a2 = -1
Qua O vẽ hai đường thẳng :
(d'1) : y = a1x
(d'2) : y = a2x
Hiển nhiên (d1) // (d'1) , (d2) // (d'2).
+) Trước tiên ta chứng minh (d1) ⊥ (d2) => a1.a2 = -1.
Giả sử a1 > 0 (không làm mất tính tổng quát của bài toán) suy ra a2 < 0
(vì (d'1) ⊥ (d'2)).
Đường thẳng (d'1) đi qua điểm A(1; a1 )
Đường thẳng (d'2) đi qua điểm B (1; a2)
Hiển nhiên AB // Oy nên AB ⊥ Ox tại I có OI = 1. Vì (d'1) ⊥ (d'2)
=> góc AOB là góc vuông. Trong tam giác vuông AOB , OI là đường cao thuộc cạnh huyền , vậy ta có:
IA.IB = OI2 = 1 => a1.|a2| = 1
Vì a2 < 0 nên - a1.a2 = 1 hay a1.a2 = -1
+) Ngược lại, với a1.a2 = -1 ta phải chứng minh (d'1) ⊥ (d'2)
Thật vậy, nếu a1.a2 = -1 => a1.|a2| = 1.
=> IA.IB = OI2
=> 
=> ∆ IAO 
∆IOB
=> 
mà 
=> 
=> Góc AOB là góc vuông hay (d'1) ⊥ (d'2)
Ghi chú: Sau này khi lên học lớp trên ta sẽ chứng minh được công thức sau. Gọi 
là góc tạo bởi hai đường thẳng 
và 
thì
khi 
thì 
<=> 
Cho hai đường thẳng:
y = a1x + b1 (d1)
y = a2x + b2 (d2)
Ta phải chứng minh (d1) ⊥ (d2) => a1.a2 = -1
Qua O vẽ hai đường thẳng :
(d'1) : y = a1x
(d'2) : y = a2x
Hiển nhiên (d1) // (d'1) , (d2) // (d'2).
+) Trước tiên ta chứng minh (d1) ⊥ (d2) => a1.a2 = -1.
Giả sử a1 > 0 (không làm mất tính tổng quát của bài toán) suy ra a2 < 0
(vì (d'1) ⊥ (d'2)).
Đường thẳng (d'1) đi qua điểm A(1; a1 )
Đường thẳng (d'2) đi qua điểm B (1; a2)
Hiển nhiên AB // Oy nên AB ⊥ Ox tại I có OI = 1. Vì (d'1) ⊥ (d'2)
=> góc AOB là góc vuông. Trong tam giác vuông AOB , OI là đường cao thuộc cạnh huyền , vậy ta có:
IA.IB = OI2 = 1 => a1.|a2| = 1
Vì a2 < 0 nên - a1.a2 = 1 hay a1.a2 = -1
+) Ngược lại, với a1.a2 = -1 ta phải chứng minh (d'1) ⊥ (d'2)
Thật vậy, nếu a1.a2 = -1 => a1.|a2| = 1.
=> IA.IB = OI2
=> => ∆ IAO ∆IOB
=> mà =>
=> Góc AOB là góc vuông hay (d'1) ⊥ (d'2)
Ghi chú: Sau này khi lên học lớp trên ta sẽ chứng minh được công thức sau. Gọi là góc tạo bởi hai đường thẳng và thì
khi thì <=>
Câu hỏi liên quan
-
Tính AC và BD biết
= 
. Chứng tỏ tích AC.BD không phụ thuộc vào -
Cho biểu thức A = (
- 
+ 
) : ( x - 2 + 
)Trả lời câu hỏi dưới đây:
Rút gọn biểu thức A
-
AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.
-
Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt M và N với mọi K
-
Kẻ EI vuông góc MN, cắt AN tại D. Tính CD biết ME = 8cm; MN=10cm
-
Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên
-
Tìm a để hệ phương trình có một nghiệm số duy nhất thỏa mãn: x2 - 12x – 14y < 0
-
Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.
-
Chứng minh DM.CE=DE.CM
-
Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB