Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 41875

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 3)2 = 17 và mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(8; 0; -23), nằm trong (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).  

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 3)2 = 17 và

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):

(x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 3)2 = 17 và mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + 7 = 0.

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(8; 0; -23), nằm trong (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

 


A.
\left\{\begin{matrix} x=8+4t\\ y=t\\ z=-23-10t \end{matrix}\right. ;\left\{\begin{matrix} x=8-\frac{224}{61}t\\ y=t\\ z=-23+\frac{326}{61}t \end{matrix}\right.
B.
\left\{\begin{matrix} x=8+2t\\ y=t\\ z=-23-10t \end{matrix}\right. ;\left\{\begin{matrix} x=6-\frac{224}{61}t\\ y=t\\ z=-23-\frac{326}{61}t \end{matrix}\right.
C.
\left\{\begin{matrix} x=8+4t\\ y=t\\ z=23-10t \end{matrix}\right. ;\left\{\begin{matrix} x=8-\frac{224}{61}t\\ y=t\\ z=23-\frac{326}{61}t \end{matrix}\right.
D.
\left\{\begin{matrix} x=8-4t\\ y=t\\ z=-23-10t \end{matrix}\right. ;\left\{\begin{matrix} x=8+\frac{224}{61}t\\ y=t\\ z=-23-\frac{326}{61}t \end{matrix}\right.
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

(S) có tâm I(-1; -1; -3) bán kính R = √17. (P) có vecto pháp tuyến

 \overrightarrow{n} = (2; 2; 1) .

Gọi \overrightarrow{u} = (a, b, c) là vecto chỉ phương đường thẳng ∆ cần tìm (a2 + b2 + c2 > 0)

∆ ⊂ (P)  => \overrightarrow{u} ⊥ \overrightarrow{n} ⇔ 2a + 2b + c = 0 ⇔ c = -2a - 2b  (1)

Ta có \overrightarrow{AI} = (-9; 2; 20), [\overrightarrow{AI},\overrightarrow{u}] = (2c - 20b, 20a + 9c, -9b - 2a)

∆ tiếp xúc (S) ⇔ d(I, ∆) = R ⇔ \frac{|[\overrightarrow{AI},\overrightarrow{u}]|}{|\overrightarrow{u}|} = √17

 ⇔ \sqrt{(2c-20b)^{2}+(20a+9c)^{2}+(-9b-2a)^{2}}

= √17.\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} (2)

+Từ (1) và (2) ta có 

(- 4a – 24b)2 + (2a – 18b)2 + (-9b - 2a)2 = 17[a2 + b2 + (-2a - 2b)2]

⇔ 896b2 – 61a2 + 20ab = 0

+Với b = 0 thì a = 0 => c = 0 vô lí, vậy b ≠ 0. Chọn b = 1

Ta có – 61a2 + 20a + 896 = 0 ⇔ a = 4 hoặc a =  \frac{-224}{61}

+Với a = 4, b = 1 thì c = -10; với a = \frac{-224}{61}, b = 1 thì c = \frac{326}{61}

Vậy có hai đường thẳng thỏa bài toán là

 \left\{\begin{matrix} x=8+4t\\ y=t\\ z=-23-10t \end{matrix}\right. hoặc \left\{\begin{matrix} x=8-\frac{224}{61}t\\ y=t\\ z=-23 +\frac{326}{61}t \end{matrix}\right.

 

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết