Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 41480

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 4x + 2y + 2z - 3 = 0, mặt phẳng (P): x - y + z + 1 = 0 và hai điểmA(-1; 1; 0), B(2; 2; 1). Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với AB, vuông góc với mp(P) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng √3.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 4x + 2y + 2z - 3 =

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 4x + 2y + 2z - 3 = 0, mặt phẳng (P): x - y + z + 1 = 0 và hai điểmA(-1; 1; 0), B(2; 2; 1). Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với AB, vuông góc với mp(P) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng √3.


A.
x - y - 2z + 1 = 0 hoặc x - y - 2z - 11 = 0
B.
x - y - 2z + 1 = 0
C.
x - y - 2z + 1 = 0 hoặc x + y - 2z - 11 = 0
D.
x - y - 2z - 11 = 0
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Phương trình (S) viết dưới dạng (x - 2)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 9.

Suy ra (S) có tâm I(2;-1;-1), bán kính R = 3.

Ta có \overrightarrow{AB} = (3; 1; 1), một vecto pháp tuyến của (P) là \overrightarrow{n} = (1;-1; 1)

Do đó [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n}] = (2;-2;-4) ≠ \overrightarrow{0}

Gọi \overrightarrow{u} là một vecto pháp tuyến của mp(α). Ta có:

(α) // AB, (α) ⊥ (P) => \overrightarrow{u} ⊥ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{u} ⊥ \overrightarrow{n} => \overrightarrow{u} cùng phương với

 [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{n}].

Chọn \overrightarrow{u} = \frac{1}{2} [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n}] => \overrightarrow{u} = (1;-1;-2)

Mp(α) có một vecto pháp tuyến \overrightarrow{u} nên có phương trình dạng x - y - 2z + D = 0

Gọi d là khoảng cách từ I đến mp(α)

Mp(α) cắt (S) theo một đường tròn (C) có bán kính r = √3 nên d = \sqrt{R^{2}-r^{2}} = \sqrt{9-3} = √6

Ta có d = √6 ⇔ \frac{|2-(-1)-2(-1)+D)|}{\sqrt{6}} = √6 ⇔ |5 + D| = 6 

⇔ [\begin{matrix} D=1 & & \\ D=-11 & & \end{matrix}

Vói D = 1 thì (α):x - y - 2z + 1 = 0 không qua A(-1; 1; 0)

(vì -1 - 1 - 2.0 + 1 ≠ 0) nên (α) // AB.

Tương tự, mp(α): x - y - 2z - 11 = 0 cũng song song với AB.

Vậy có hai mặt phẳng (α) thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình: 

x - y - 2z + 1 = 0 hoặc x - y - 2z - 11 = 0

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết