Skip to main content
/ Luyện Thi Vào Lớp 10 Môn Toán / Câu hỏi 41126

Chứng minh rằng:  2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{n}}  < 2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1} . Từ đó suy ra: 2004 < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ..... + \frac{1}{\sqrt{1006009}} < 2005

Chứng minh rằng:  <   <  . Từ đó suy ra: 2004 < 1 +  +  +

Câu hỏi

Nhận biết

Chứng minh rằng:  2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{n}}  < 2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1} . Từ đó suy ra: 2004 < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ..... + \frac{1}{\sqrt{1006009}} < 2005


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\frac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}

=\frac{2(n+1-n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}  < \frac{2}{2\sqrt{n}}  =\frac{1}{\sqrt{n}}   

(vì \sqrt{n+1}   > \sqrt{n} )

2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})=\frac{2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=

=\frac{2[n-(n-1)]}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}  > \frac{2}{2\sqrt{n}} =\frac{1}{\sqrt{n}}

Do đó 2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1}

Áp dụng hệ thức (*) ta có:

2\sqrt{3}-2\sqrt{2}  < \frac{1}{\sqrt{2}} < 2\sqrt{2}-2\sqrt{1}

2\sqrt{4}-2\sqrt{3} < \frac{1}{\sqrt{3}}< 2\sqrt{3}-2\sqrt{2}

2\sqrt{5}-2\sqrt{4} < \frac{1}{\sqrt{4}}< 2\sqrt{4}-2\sqrt{3}

2\sqrt{6}-2\sqrt{5} < \frac{1}{\sqrt{5}}< 2\sqrt{5}-2\sqrt{4}

..............................................................

2\sqrt{1006010}-2\sqrt{1006009} < \frac{1}{\sqrt{1006009}}< 2\sqrt{1006009}-2\sqrt{1006008}

Cộng hai vế của các bất đẳng thức trên ta có:

2006 - 3 < \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4}} + ....... + \frac{1}{\sqrt{1006009}}  < 2006 -2 

Vậy 2004 < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ..... + \frac{1}{\sqrt{1006009}} < 2005

Câu hỏi liên quan

  • AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.

    AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.

    Chi tiết
  • Giải phương trình với a = -2

    Giải phương trình với a = -2

    Chi tiết
  • Cho biểu thức A = (

    Cho biểu thức A = ( frac{x^{2}}{x^{3}-4x} - frac{6}{3x-6} + frac{1}{x+2}) : ( x - 2 + frac{10-x^{2}}{x+2})

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Rút gọn biểu thức A

    Chi tiết
  • Tìm b để A =

    Tìm b để A = frac{5}{2}

    Chi tiết
  • Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chi tiết
  • Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a

    Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a

    Chi tiết
  • Rút gọn A

    Rút gọn A

    Chi tiết
  • Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN. Từ một điểm A trên tiếp tuyến Mx của nửa đư

    Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN. Từ một điểm A trên tiếp tuyến Mx của nửa đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến thứ hai AE ( E là tiếp điểm). Nối A với N cắt nủa đưởng tròn (O) ở B.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chi tiết
  • Gọi hoành độ giao điểm 2 điểm M và N lần lượt là x1 và x2.

    Gọi hoành độ giao điểm 2 điểm M và N lần lượt là x1  và x2. Chứng minh rằng:  x1x2=-1, từ đó suy ra tam giác MON là tam giác vuông

    Chi tiết
  • Cho hệ phương trình:

    Cho hệ phương trình: left{begin{matrix} x + ay = 3a\ ax - y = a^{2}-2 end{matrix}right.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Giải hệ phương trình với a = 2

    Chi tiết