Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 3921

Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức      \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}} + \frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}} + \frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}  ≤ 1.    

Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức &n

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức
     \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}} + \frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}} + \frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}  ≤ 1.
   


A.
 a + b = c
B.
 a - b = c
C.
a + b + c
D.
 a = b = c.
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Trước hết chứng minh với a, b là các số dương:

( a + b )( a + c ) - (\sqrt{ab} + \sqrt{ac})2 = a2 + bc - 2a\sqrt{bc}  = ( a - \sqrt{bc})2  ≥ 0

=> ( a + b )( a + c )  ≥ (\sqrt{ab} + \sqrt{ac})2

=> \sqrt{(a+b)(a+c)}  ≥ \sqrt{ab} + \sqrt{ac} ; 

Dấu bằng xảy ra khi a = \sqrt{bc} 
=> \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}} ≤ \frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} (1)

Hoàn toàn tương tự:

  \frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}} ≤ \frac{b}{b+\sqrt{bc}+\sqrt{ba}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{a}} (2)

Dấu bằng xảy ra khi b = \sqrt{ac};

\frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}} ≤ \frac{c}{c+\sqrt{ca}+\sqrt{cb}} = \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{b}} (3)

Dấu bằng xảy ra khi c = \sqrt{ab}. Từ (1), (2) và (3) suy ra :

  \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}} + \frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}  + \frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}  ≤ 1
Dấu "=" xảy ra khi a2 = bc, b2 = ac, c2 = ab => a3 = b3 ; b3 = c3 => a = b = c.


Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết