Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 3776

Giải phương trình  log2 \frac{2^{x}-1}{|x|}  = 1 + x - 2x

Giải phương trình log2

Câu hỏi

Nhận biết

Giải phương trình  log2 \frac{2^{x}-1}{|x|}  = 1 + x - 2x


A.
x = 1
B.
x = 3
C.
x = 4
D.
x = 5
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Giải phương trình  log2 \frac{2^{x}-1}{|x|}  = 1 + x - 2x (*)

Điều kiện \left\{\begin{matrix} 2^{x}-1\\x\neq 0 \end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix} 2^{x}> 1=2^{0}\\x\neq 0 \end{matrix}\right. ⇔ x > 0 

(*)  ⇔ log2 \frac{2^{x}-1}{|x|}  = 1 - 2x + x và x > 0

       ⇔  log2 (  2x -1) -   log2 x = 1 - 2x + x và x > 0

        ⇔  (  2x -1) +  log2 (  2x -1) = x + log2 x (**) và  x > 0.

Xét hàm f(t) = t + log2 2t đồng biến khi t >  0.

Do đó f(u) = f(v)  ⇔ u = v, với u  >  0, v  > 0.

Vậy từ (**)  ⇔ 2x - 1 = x ⇔  2x - 1 -1 = 0 (***).

Lại xét hàm g(x) =  2x - 1 -1 khi x > 0

    g'(x) =  2x ln2 - 1, g'(x) = 0 ⇔  2x = \frac{1}{ln2} = log2 e > 1.

Ta có g''(x) > 0 với mọi x nên g'(x) là hàm tăng trên R

=> g'(x)  <  0,  ∀ x < log2 (log2 e ) và g'(x)  > 0, ∀ x  > log2 (log2 e )

=>g giảm trên [- ∞; log2 (log2 e]

g tăng trên [log2 (log2 e ; + ∞)

=> g(x) = 0 có tối đa một nghiệm trên ( -∞ ;  log2 (log2 e )] và có tối đa một nghiệm trên [log2 (log2 e ) ; + ∞).

Bằng cách thử nghiệm ta có phương trình g(x) = 0 (***) có 2 nghiệm là c = 0 và x =1. Vì x > 0 nên (*) ⇔ x = 1.

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1        

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết