Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 3722

Giải hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} 2(x+y)^{3}+4xy-3=0\\(x+y)^{4}-2x^{2}-4xy+2y^{2}+x-3y+1=0 \end{matrix}\right.

Giải hệ phương trình:

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình:
\left\{\begin{matrix} 2(x+y)^{3}+4xy-3=0\\(x+y)^{4}-2x^{2}-4xy+2y^{2}+x-3y+1=0 \end{matrix}\right.


A.
(x;y)=(3;5)
B.
(x;y)=(1;-1)
C.
(x;y)=(\frac{1}{}2;\frac{1}{}2)
D.
(x;y)=(3;1)
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

\left\{\begin{matrix} 2(x+y)^{3}+4xy-3=0\\(x+y)^{4}-2x^{2}-4xy+2y^{2}+x-3y+1=0 \end{matrix}\right.

<=> \left\{\begin{matrix} 2(x+y)^{3}+4xy-3=0\\(x+y)^{4}-2(x^{2}+2xy+y^{2})+x+y+4y^{2}-4y+1=0 \end{matrix}\right.

<=> \left\{\begin{matrix} 2(x+y)^{3}+4xy-3=0 (1)\\(x+y)^{4}-2(x+y)^{2}+(x+y)+(2y-1)^{2}=0 (2)\end{matrix}\right.

Ta có:

(x+y)2  ≥4xy => 2(x+y)3+(x+y)2  -3 ≥ 2(x+y)3+4xy-3

=> 2(x+y)3 +(x+y)2  -3 ≥0

Đặt t=x+y=> 2t3+t-3 ≥0 <=>  2t3-2t2+2t2-2t+3t-3 ≥0

<=> 2(t-1)(t2+1+\frac{3}{2})≥ 0 <=> t-1≥ 0 <=> t≥ 1

Ta viết lại phương trình (2): t4-2t2+t+(2y-1)2 =0

Xét hàm số f(t)= t4-2t2+t, f’(t)=4t3-4t+1>0 \forallt≥ 1

=> f(t) đồng biến trên [1;+∞ ). Vì vậy  \forallt≥1, f(t)≥f(1)=0;

t4-2t2+t+(2y-1)2 =0 <=> f(t)+(2y-1)2 =0 <=> \left\{\begin{matrix} f(t)=0)\\(2y-1)^{2}=0 \end{matrix}\right.

<=> \left\{\begin{matrix} t=1\\2y-1=0 \end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix} x+y=1\\y=\frac{1}{2} \end{matrix}\right. => x=y=\frac{1}{2} (thỏa mãn hệ đã cho)

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết