Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 3704

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng: y = 0 và y = \frac{x(1-x)}{x^{2}+1}

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng: y = 0 và y =&nbs

Câu hỏi

Nhận biết

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng: y = 0 và y = \frac{x(1-x)}{x^{2}+1}


A.
S = -1 + \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}ln2
B.
S = 1 + \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}ln2
C.
S = -1 - \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}ln2
D.
S = -1 + \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}ln2
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Tọa độ giao điểm của 2 đường y = 0 và y = \frac{x(1-x)}{x^{2}+1} là A(0 ; 0) ; B(1 ; 0)

Khi đó 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ x(1 - x) ≥ 0 ⇒ y = \frac{x(1-x)}{x^{2}+1} ≥ 0

Do diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường đã cho là

S = \int_{0}^{1}\frac{x(1-x)}{x^{2}+1}dx = \int_{0}^{1}\frac{-x^{2}+x}{x^{2}+1}dx = \int_{0}^{1}(-1 + \frac{x+1}{x^{2}+1})dx

= -x|_{0}^{1} + \int_{0}^{1}\frac{x+1}{x^{2}+1}dx. Ta tính S1 = \int_{0}^{1}\frac{x+1}{x^{2}+1}dx

Đặt: x = tant ⇒ dx = (tan2 t + 1)dt

Đổi cận x = 1 ⇒ t = \frac{\pi }{4} ; x = 0 ⇒ t = 0

⇒ S1 = \int_{0}^{1}\frac{x+1}{x^{2}+1}dx = \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}(tant + 1)dt = [t - ln(cost)]|_{0}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}ln2

Vậy S = -1 + \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}ln2 (đvdt)

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết