Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Tổ Hợp - Xác Suất / Câu hỏi 36067

Tính hệ số của x4 trong khai triển biểu thức  [\sqrt{x}+3(1-\frac{1}{x})]^{n}, (x > 0 ), biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 3C_{n-1}^{1} + 8C_{n-2}^{2} = 3C_{n-1}^{3}

Tính hệ số của x4 trong khai triển biểu thức  

Câu hỏi

Nhận biết

Tính hệ số của x4 trong khai triển biểu thức  [\sqrt{x}+3(1-\frac{1}{x})]^{n}, (x > 0 ), biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 3C_{n-1}^{1} + 8C_{n-2}^{2} = 3C_{n-1}^{3}


A.
4421
B.
4422
C.
4423
D.
4424
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết ta có 3(n + 1 ) + 8.\frac{(n+2)(n+1)}{2}= 3.\frac{(n+1)n(n-1)}{6}, n ≥ 2

⇔ 6 + 8(n + 2) = n(n - 1) ⇔ n2 - 9n - 22 = 0 ⇔ [_{n=-2}^{n=11}  ⇔ n = 11

Theo khai triển nhị thức Newton ta có 

[\sqrt{x}+3(1-\frac{1}{x})]^{11}=\sum_{k=0}^{11}C_{11}^{k}.(\sqrt{x})^{11-k}.3^{k}\left ( 1- \frac{1}{x} \right )^{k}

= \sum_{k=0}^{11}C_{11}^{k}.3^{k}(\sqrt{x})^{11-k}.\sum_{i=0}^{k}C_{k}^{i}.\frac{(-1)^{i}}{x^{i}}

=\sum_{k=0}^{11}.C_{11}^{k}.3^{k}.\sum_{i=0}^{k}.C_{k}^{i}(-1)^{i}.x^{\frac{11-k}{2}-i} . 

Xét phương trình \frac{11-k}{2} - i = 4, 0 ≤ i ≤ 11

⇔ k + 2i = 3 , 0 ≤ i ≤ 11  ⇔ [_{k=3,i=0}^{k=1,i=1}

Suy ra hệ số của x4 là  C_{11}^{1}.3.C_{1}^{1}.(-1)^{1}+ C_{11}^{3}.3^{3} = 4422

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết