Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 3537

Cho số nguyên dương n thỏa mãn C_{2n+1}^{0} + C_{2n+1}^{1} + ... + C_{2n+1}^{n} = 230 và khai triển (1 + x)(1 + 2x)n = a0 + a1x + … + an+1xn+1. Tìm hệ số ai lớn nhất với 0 ≤ i ≤ n + 1 (C_{n}^{k} là số tổ hợp chập k của n phần tử)

Cho số nguyên dương n thỏa mãn

Câu hỏi

Nhận biết

Cho số nguyên dương n thỏa mãn C_{2n+1}^{0} + C_{2n+1}^{1} + ... + C_{2n+1}^{n} = 230 và khai triển (1 + x)(1 + 2x)n = a0 + a1x + … + an+1xn+1. Tìm hệ số ai lớn nhất với 0 ≤ i ≤ n + 1 (C_{n}^{k} là số tổ hợp chập k của n phần tử)


A.
Hệ số ai lớn nhất là a11
B.
Hệ số ai lớn nhất là a12
C.
Hệ số ai lớn nhất là a13
D.
Hệ số ai lớn nhất là a14
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có

C_{2n+1}^{0} + C_{2n+1}^{1} + ... + C_{2n+1}^{n} = C_{2n+1}^{n+1} + C_{2n+1}^{n+2}  + ... + C_{2n+1}^{2n+1} nên

C_{2n+1}^{0} + C_{2n+1}^{1} + ... + C_{2n+1}^{n} + C_{2n+1}^{n+1} + C_{2n+1}^{n+2}  + ... + C_{2n+1}^{2n+1} = 231.

mà (1 + 1)2n+1 = C_{2n+1}^{0} + C_{2n+1}^{1} + ... + C_{2n+1}^{n} + C_{2n+1}^{n+1} + C_{2n+1}^{n+2}  + ... + C_{2n+1}^{2n+1}

Suy ra 2n + 1 = 31 ⇔ n = 15

Giả sử (1 + 2x)15 = b0 + b1x + … + b15x15. Khi đó

(1 + x)(1 + 2x)n = (1 + x)(b0 + b1x + … + b15x15)

= b0 + (b0 + b1)x + (b1 + b2)x2 + … + (b14 + b15)x15 + b15x16.

Ta có bi = C_{15}^{i} .2i , 0 ≤ i ≤  15.

* b1 > bi – 1 ⇔   C_{15}^{i} .2i > C_{15}^{i-1} . 2i - 1 ⇔ i ≤ 10.

* b1 > bi + 1 ⇔   C_{15}^{i} .2i > C_{15}^{i+1} . 2i + 1 ⇔ i ≥10.

Suy ra b0 < b1 < ... < b10 > b11 > ... > b15

Suy ra a0 < a1 < ... < a10 = b9 + b10 và b10 + b11 = a11 > a12 > … > a16.

Do b9 =  C_{15}^{9} . 29 < C_{15}^{11} . 211 = b11 nên a10 < a11. Suy ra hệ số ai lớn nhất là a11 = b10 + b11 = C_{15}^{10} . 210 + C_{15}^{11} . 211.

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết