Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 3468

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{a^{5}+b^{5}}{ab(a+b)} + \frac{b^{5}+c^{5}}{bc(b+c)} + \frac{c^{5}+a^{5}}{ca(c+a)}

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{a^{5}+b^{5}}{ab(a+b)} + \frac{b^{5}+c^{5}}{bc(b+c)} + \frac{c^{5}+a^{5}}{ca(c+a)}


A.
Giá trị nhỏ nhất của P là \frac{1}{3}
B.
Giá trị nhỏ nhất của P là -\frac{1}{3}
C.
Giá trị nhỏ nhất của P là \frac{3}{2}
D.
Giá trị nhỏ nhất của P là -\frac{3}{2}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta chứng minh \frac{a^{5}+b^{5}}{ab(a+b)} ≥ \frac{a^{2}+b^{2}}{2}              (*)

Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với

2(a5 + b5) ≥ ab(a + b)(a2 + b2)

⇔2(a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4) ≥ ab(a + b)(a2 + b2)

⇔2(a4 + a2 b2 + b4) ≥ 3ab(a2 + b2)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có

2(a4 + a2b2 + b4) = (a4 + b4) + (a2 + b2)2 ≥ \frac{3}{2} (a2 + b2)2 ≥ 3ab(a2 + b2)

Vậy (*) đúng. 

Tương tự ta cũng có \frac{b^{5}+c^{5}}{bc(b+c)} ≥ \frac{b^{2}+c^{2}}{2} ; \frac{c^{5}+a^{5}}{ca(c+a)} ≥ \frac{c^{2}+a^{2}}{2}

Suy ra P ≥ a2 + b2 + c2 ≥ \frac{1}{3} (a + b + c)2 = \frac{1}{3}

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = \frac{1}{3}

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \frac{1}{3}, đạt khi a = b = c = \frac{1}{3}

Câu hỏi liên quan

  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết