Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 346

Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.


A.
Giá trị nhỏ nhất của P là \sqrt[3]{4}, đạt được khi x = \sqrt[3]{4}, y = z = 0.
B.
Giá trị nhỏ nhất của P là \sqrt[3]{4}, đạt được khi x = \sqrt[3]{2}, y = z = 0.
C.
Giá trị nhỏ nhất của P là \sqrt[3]{4}, đạt được khi x = \sqrt[3]{5}, y = z = 0.
D.
Giá trị nhỏ nhất của P là \sqrt[3]{4}, đạt được khi x = \sqrt[3]{7}, y = z = 0.
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết x3 + y3 + z3 = 2 + 3xyz

⇔ (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) = 2

⇔ (x + y + z)[\frac{3}{2}(x2 + y2 + z2) - \frac{1}{2}(x + y + z)2] = 2.

Đặt t = x + y + z. Khi đó t>0 và x2 + y2 + z2 = \frac{t^{2}}{3}+\frac{4}{3t}.

Xét hàm f(t) = \frac{t^{2}}{3}+\frac{4}{3t} trên (0; +∞).

Ta có f'(t) = \frac{2}{3}t - \frac{4}{3t^{2}}, f'(t) = 0 ⇔ t = \sqrt[3]{2} và \lim_{t\rightarrow0^{+}}f(t) = \lim_{t\rightarrow+\infty}f(t) = +∞.

Do đó \min_{t\epsilon\left(0;+\infty\right)}f(t) = f(\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{4}, đạt được khi t = \sqrt[3]{2}.

Ta có P ≥ x2 + y2 + z2 ≥ \sqrt[3]{4}.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = \sqrt[3]{2}, y = z = 0.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \sqrt[3]{4}, đạt được khi x = \sqrt[3]{2}, y = z = 0.

Nhận xét. Để chứng minh \frac{t^{2}}{3}+\frac{4}{3t} ≥ \sqrt[3]{4} ta có thể áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương.

Thật vậy: \frac{t^{2}}{3}+\frac{4}{3t} = \frac{t^{2}}{3} + \frac{2}{3t} + \frac{2}{3t} ≥ 3\sqrt{\frac{t^{2}}{3}.\frac{2}{3t}.\frac{2}{3t}} = \sqrt[3]{4}.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \frac{t^{2}}{3} = \frac{2}{3t} ⇔ t = \sqrt[3]{2}.

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy , cho tam giác ABC có trung tuyến và phâ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy , cho tam giác ABC có trung tuyến và phân giác trong kẻ từ cùng một đỉnh B có phương trình lần lượt là  d1: 2x + y - 3 = 0, d2: x  + y - 2 = 0. Điểm M(2;1) thuộc đường thẳng AB, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng √5. Biết đỉnh A có hoành độ dương, hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết