Skip to main content
/ Luyện Thi Vào Lớp 10 Môn Toán / Câu hỏi 34547

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ 2. Chứng minh rằng : \sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}} \geq \frac{\sqrt{97}}{2}

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ 2. Chứng minh rằng :

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ 2. Chứng minh rằng :

\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}} \geq \frac{\sqrt{97}}{2}


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: 

\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}} \geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}

Lại có: (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})  ≥ 9

=> \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c} \geq \frac{9}{2} ;

(a+b+c)^{2}+\frac{16}{81}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}  \geq 2.\frac{4}{9}(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 8 

=> (a+b+c)^{2}+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}=(a+b+c)^{2}+\frac{16}{81}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}+\frac{65}{81}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2} 

                                          ≥ 8+\frac{65}{81}.\frac{81}{4}=\frac{97}{4}

Vậy

 \sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}} \geq \frac{\sqrt{97}}{2}

Dấu " = " xảy ra khi a = b = c = \frac{2}{3}

 

Câu hỏi liên quan

  • Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E khắc

    Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E khắc với điểm A. Từ các điểm E, A và B kẻ các tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến kẻ từ E lần lượt cắt các tiếp tuyến từ điểm A và B tại C và D.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.

    Chi tiết
  • Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .

    Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình với a = 2

    Giải hệ phương trình với a = 2

    Chi tiết
  • Cho biểu thức:A =

    Cho biểu thức:

    A = left ( frac{3}{sqrt{b}-1}+frac{sqrt{b}-3}{b-1} right ):left ( frac{b+2}{b+sqrt{b}-2}-frac{sqrt{b}}{sqrt{b}+2} right )

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Rút gọn A

    Chi tiết
  • Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chi tiết
  • Tìm b để A =

    Tìm b để A = frac{5}{2}

    Chi tiết
  • Tính AC và BD biết

    Tính AC và BD biết widehat{AOC} = alpha. Chứng tỏ tích AC.BD không phụ thuộc vào  alpha

    Chi tiết
  • Cho biểu thức A = (

    Cho biểu thức A = ( frac{x^{2}}{x^{3}-4x} - frac{6}{3x-6} + frac{1}{x+2}) : ( x - 2 + frac{10-x^{2}}{x+2})

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Rút gọn biểu thức A

    Chi tiết
  • Rút gọn A

    Rút gọn A

    Chi tiết
  • Tìm a để hệ phương trình có một nghiệm số duy nhất thỏa mãn: x2  

    Tìm a để hệ phương trình có một nghiệm số duy nhất thỏa mãn:  x2  - 12x – 14y < 0 

    Chi tiết