Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 332

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).


A.
VSABC = \frac{a^{3}\sqrt{30}}{3}, MK = \frac{MA.MH}{\sqrt{MA^{2}+MH^{2}}} = \frac{a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2a^{2+\frac{a^{2}}{2}}}} = \frac{2a}{\sqrt{10}}.
B.
VSABC = \frac{a^{3}\sqrt{20}}{3}, MK = \frac{MA.MH}{\sqrt{MA^{2}+MH^{2}}} = \frac{a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2a^{2+\frac{a^{2}}{2}}}} = \frac{2a}{\sqrt{5}}.
C.
VSABC = \frac{a^{3}\sqrt{10}}{3}, MK = \frac{MA.MH}{\sqrt{MA^{2}+MH^{2}}} = \frac{a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2a^{2+\frac{a^{2}}{2}}}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}.
D.
VSABC = \frac{a^{3}\sqrt{10}}{2}, MK = \frac{MA.MH}{\sqrt{MA^{2}+MH^{2}}} = \frac{a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2a^{2+\frac{a^{2}}{2}}}} = \frac{2a}{\sqrt{6}}.
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Vì tam giác ABC vuông cân tại B và BC = 2a nên AC = 2a√2.

Ta có BM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên BM = \frac{1}{2}AC = a√2.

Do đó MH = \frac{1}{2}BM = \frac{a\sqrt{2}}{2}.

Trong tam giác vuông AMH (vuông tại M) ta có

AH = \sqrt{AM^{2}+MH^{2}} = \sqrt{2a^{2}+\frac{a^{2}}{2}} = \frac{a\sqrt{10}}{2}.

Vì SH ⊥ (ABC) nên \left(\widehat{SA,\left(ABC\right)}\right) = \widehat{SAH} = 600. Khi đó trong tam giác vuông SAH (vuông tại H) ta có SH = AH.tan600 = \frac{a\sqrt{30}}{2} (đvtt).

Từ đó suy ra: VSABC = \frac{1}{3}.SH.SABC = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{30}}{2}.\left(\frac{1}{2}.2a.2a\right) = \frac{a^{3}\sqrt{30}}{3}.

Ta có: d(E, (SAH)) = \frac{1}{2}d(C, (SAH)) = \frac{1}{2}.2.d(M, (SAH)) = MK, trong đó K là hình chiếu của M lên AH.

Trong tam giác vuông AMH (vuông tại M) ta có

\frac{1}{MK^{2}} = \frac{1}{MA^{2}} + \frac{1}{MH^{2}} => MK = \frac{MA.MH}{\sqrt{MA^{2}+MH^{2}}} = \frac{a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2a^{2}+\frac{a^{2}}{2}}} = \frac{2a}{\sqrt{10}}.

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết