Skip to main content
/ Luyện Thi Vào Lớp 10 Môn Toán / Câu hỏi 31537

Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự a_{1},a_{2},...,a_{2010}, ta đánh dấu tất cả các số dương và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương. Ví dụ với dãy số -8, -4, 5, -1, 2, -1, -2, -3, ...., -2005 thì các số được đánh dấu là a_{2}=-4,a_{3}=5,  a_{4}=-1,a_{5}=2 Chứng minh rằng nếu trong dãy đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cả các số được đánh dấu là một số dương.

Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự

Câu hỏi

Nhận biết

Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự a_{1},a_{2},...,a_{2010}, ta đánh dấu tất cả các số dương và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương. Ví dụ với dãy số -8, -4, 5, -1, 2, -1, -2, -3, ...., -2005 thì các số được đánh dấu là a_{2}=-4,a_{3}=5,  a_{4}=-1,a_{5}=2

Chứng minh rằng nếu trong dãy đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cả các số được đánh dấu là một số dương.


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Nếu tất cả các số là số dương thì suy ra đpcm.

Xét trường hợp tồn tại i để a_{i} được đánh dấu và a_{i} < 0, chọn i là chỉ số nhỏ nhất như vậy.

Khi đó theo giả thiết tồn tại k để a_{i}+a_{i+1}+a_{i+2}+....+a_{i+k} > 0

Giả sử k là số nhỏ nhất để  a_{i}+a_{i+1}+a_{i+2}+....+a_{i+k} > 0 (1)   

(hiển nhiên k ≥ 1).

Như vậy:

a_{i} < 0

a_{i}+a_{i+1} ≤ 0

...........

a_{i}+a_{i+1}+a_{i+2}+...+a_{i+k-1}  ≤ 0

Ta có a_{i}+(a_{i+1}+a_{i+2}+...+a_{i+k}) > 0 => a_{i+1}+...+a_{i+k} > 0

=> a_{i+1} được đánh dấu.

(a_{i}+a_{i+1})+(a_{i+2}+...+a_{i+k}) > 0 => a_{i+2}+...+a_{i+k} > 0

=> a_{i+2} được đánh dấu.

..............

Cuối cùng (a_{i}+a_{i+1}+a_{i+2}+...+a_{i+k-1})+a_{i+k} > 0 => a_{i+k} > 0

=> a_{i+k} cũng được đánh dấu.

Suy ra tất cả các số a_{i},a_{i+1},a_{i+2},...,a_{i+k} đều được đánh dấu.

Như vậy, trong các số a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{i+k}  các số được đánh dấu có tổng lớn hơn 0.

Tiếp tục quá trình lập luận như trên cho các số còn lại a_{i+k+1},....,a_{2010} . Sau một số hữu hạn bước ta được đpcm.

Câu hỏi liên quan

  • Cho biểu thức:A =

    Cho biểu thức:

    A = left ( frac{3}{sqrt{b}-1}+frac{sqrt{b}-3}{b-1} right ):left ( frac{b+2}{b+sqrt{b}-2}-frac{sqrt{b}}{sqrt{b}+2} right )

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Rút gọn A

    Chi tiết
  • Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên

    Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên

    Chi tiết
  • Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt M và N với mọi K

    Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt M và N với mọi K

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2và điểm A(0;1)

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2và điểm A(0;1)

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Tìm đường thẳng d biết đường thẳng đó đi qua A(0;1) và có hệ số góc k

    Chi tiết
  • Cho phương trình: ax2 – 2(2a – 1) x+ 3a – 2 = 0 (1)

    Cho phương trình: 

    ax2 – 2(2a – 1) x+ 3a – 2 = 0 (1)

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Giải phương trình với a = -2

    Chi tiết
  • Tìm b để A =

    Tìm b để A = frac{5}{2}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình left{begin{matrix} 12x + y = 25\ x + 2y = 4 end{matrix}right.

    Chi tiết
  • Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a

    Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a

    Chi tiết
  • Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác AC

    Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.

    Chi tiết
  • Tìm a để hệ phương trình có một nghiệm số duy nhất thỏa mãn: x2  

    Tìm a để hệ phương trình có một nghiệm số duy nhất thỏa mãn:  x2  - 12x – 14y < 0 

    Chi tiết