Skip to main content
/ Luyện Thi Vào Lớp 10 Môn Toán / Câu hỏi 31483

Giả sử x, y, z là những số thực dương thỏa mãn điều kiện : x + y + z = 1 Chứng minh rằng: \frac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^{2}+2y^{2}}}{1+\sqrt{xy}}  \geq 1

Giả sử x, y, z là những số thực dương thỏa mãn điều kiện : x + y + z = 1 Chứ

Câu hỏi

Nhận biết

Giả sử x, y, z là những số thực dương thỏa mãn điều kiện : x + y + z = 1

Chứng minh rằng: \frac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^{2}+2y^{2}}}{1+\sqrt{xy}}  \geq 1


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Có (z+\sqrt{xy})^{2} ≤ (z + x)(z + y) = z2 + zx + zy +xy = z(x + y + z) + xy = z + xy

Suy ra \sqrt{z+xy} ≥ z + \sqrt{xy}      (1)

Ta có 

2x2 + 2y2 ≥ (x + y)2   =>  \sqrt{2x^{2}+2y^{2}}  ≥ x + y    (2)

Cộng hai bất đẳng thức (1) và (2) ta thu được:

\sqrt{z+xy}+\sqrt{2x^{2}+2y^{2}}  ≥  x + y + z + \sqrt{xy} = 1 + \sqrt{xy}

Suy ra \frac{\sqrt{z+xy}+\sqrt{2x^{2}+2y^{2}}}{1+\sqrt{xy}}  ≥  1.

Dấu đẳng thức xảy ra <=> \left\{\begin{matrix} x=y=a\\ z=1-2a \end{matrix}\right.     (0 < a < \frac{1}{2} )

Câu hỏi liên quan

  • Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt M và N với mọi K

    Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt M và N với mọi K

    Chi tiết
  • Tìm đường thẳng d biết đường thẳng đó đi qua A(0;1) và có hệ số góc k

    Tìm đường thẳng d biết đường thẳng đó đi qua A(0;1) và có hệ số góc k

    Chi tiết
  • AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.

    AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.

    Chi tiết
  • Cho phương trình: ax2 – 2(2a – 1) x+ 3a – 2 = 0 (1)

    Cho phương trình: 

    ax2 – 2(2a – 1) x+ 3a – 2 = 0 (1)

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Giải phương trình với a = -2

    Chi tiết
  • Tính AC và BD biết

    Tính AC và BD biết widehat{AOC} = alpha. Chứng tỏ tích AC.BD không phụ thuộc vào  alpha

    Chi tiết
  • Cho biểu thức:A =

    Cho biểu thức:

    A = left ( frac{3}{sqrt{b}-1}+frac{sqrt{b}-3}{b-1} right ):left ( frac{b+2}{b+sqrt{b}-2}-frac{sqrt{b}}{sqrt{b}+2} right )

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Rút gọn A

    Chi tiết
  • Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .

    Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .

    Chi tiết
  • Tìm b để A =

    Tìm b để A = frac{5}{2}

    Chi tiết
  • Cho hệ phương trình:

    Cho hệ phương trình: left{begin{matrix} x + ay = 3a\ ax - y = a^{2}-2 end{matrix}right.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Giải hệ phương trình với a = 2

    Chi tiết
  • Giải phương trình (1) khi m = -5

    Giải phương trình (1) khi m = -5

    Chi tiết