Skip to main content
/ Luyện Thi Vào Lớp 10 Môn Toán / Câu hỏi 31331

Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) = \frac{9}{4} , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\sqrt{1+a^{4}}+\sqrt{1+b^{4}}

Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) =

Câu hỏi

Nhận biết

Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) = \frac{9}{4} , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\sqrt{1+a^{4}}+\sqrt{1+b^{4}}


A.
P_{min}=\frac{2\sqrt{15}}{3}
B.
P_{min}=\frac{2\sqrt{17}}{3}
C.
P_{min}=\frac{\sqrt{17}}{3}
D.
P_{min}=\frac{\sqrt{17}}{2}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta chứng minh bất đẳng thức 

\sqrt{1+a^{4}}+\sqrt{1+b^{4}} ≥ \sqrt{4 + (a^{2}+b^{2})^{2}}    với mọi a,b ϵ R  (1)

Bình phương hai vế (1) ta thu được

2\sqrt{(1+a^{4})(1+b^{4})}  ≥ 2 + 2a2b2

<=> (1 + a4)(1 + b4)  ≥ (1 + a2b2)2

<=> (a2 – b2)2  ≥ 0  (hiển nhiên đúng)

Ta có (1 + a)(1 + b) = \frac{9}{4}  <=> a + b +ab = \frac{5}{4} ;

a2 + b2 ≥ 2ab ; 2(a^{2}+\frac{1}{4}) ≥ 2a ; 2(b^{2}+\frac{1}{4}) ≥ 2b

Cộng vế với vế của 3 bất phương trình trên ta được:

3(a2 + b2) + 1 ≥ 2(a + b +ab) = \frac{5}{2}  => a2 + b2 ≥ \frac{1}{2}    (2)

Từ (1) và (2) suy ra \sqrt{1+a^{4}}+\sqrt{1+b^{4}} ≥ \sqrt{4+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}

Vậy P_{min}=\frac{\sqrt{17}}{2}  đạt được khi và chỉ khi a = b = c = \frac{1}{2}

Câu hỏi liên quan

  • Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN. Từ một điểm A trên tiếp tuyến Mx của nửa đư

    Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN. Từ một điểm A trên tiếp tuyến Mx của nửa đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến thứ hai AE ( E là tiếp điểm). Nối A với N cắt nủa đưởng tròn (O) ở B.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chi tiết
  • Cho Parabol  (P): ax2(a ≠ 0) và đường thẳng d: y=2x

    Cho Parabol  (P): ax2(a ≠ 0) và đường thẳng d: y=2x - a. Tìm điểm a để d tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.

    Chi tiết
  • Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chi tiết
  • Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a

    Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a

    Chi tiết
  • AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.

    AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.

    Chi tiết
  • Tính giá trị biểu thức của A với x =

    Tính giá trị biểu thức của A với x = frac{1}{2}

    Chi tiết
  • Cho phương trình x2- 4x + m = 0 (1), với m là tham số.

    Cho phương trình x2- 4x + m = 0 (1), với m là tham số.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Giải phương trình (1) khi m = -5

    Chi tiết
  • Tính AC và BD biết

    Tính AC và BD biết widehat{AOC} = alpha. Chứng tỏ tích AC.BD không phụ thuộc vào  alpha

    Chi tiết
  • Gọi hoành độ giao điểm 2 điểm M và N lần lượt là x1 và x2.

    Gọi hoành độ giao điểm 2 điểm M và N lần lượt là x1  và x2. Chứng minh rằng:  x1x2=-1, từ đó suy ra tam giác MON là tam giác vuông

    Chi tiết
  • Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E khắc

    Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E khắc với điểm A. Từ các điểm E, A và B kẻ các tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến kẻ từ E lần lượt cắt các tiếp tuyến từ điểm A và B tại C và D.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.

    Chi tiết