Skip to main content
/ Luyện Thi Vào Lớp 10 Môn Toán / Câu hỏi 31203

Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và kí hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có: \begin{bmatrix} \frac{3}{1.2}+\frac{7}{2.3}+....+\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)} \end{bmatrix} = n

Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá

Câu hỏi

Nhận biết

Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và kí hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có:

\begin{bmatrix} \frac{3}{1.2}+\frac{7}{2.3}+....+\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)} \end{bmatrix} = n


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có \frac{k^{2}+k+1}{k(k+1)}=1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}

Với k = 1 ta có \frac{3}{1.2}=1+1-\frac{1}{2}

     k = 2 ta có \frac{7}{2.3}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}

    ...........

    k = n ta có \frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}

Cộng n đẳng thức ta thu được 

Dễ thấy n < n + 1 -\frac{1}{n+1} < n +1

=> \begin{bmatrix} \frac{3}{1.2}+\frac{7}{2.3}+....+\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)} \end{bmatrix} = n

Chú ý: Có thể giải cách khác như sau: \frac{k^{2}+k+1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}+\frac{k}{k+1}

Với k = 1 ta có \frac{3}{1.2}=1+\frac{1}{2}

     k = 2 ta có \frac{7}{2.3}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}

      ...........

     k = n ta có \frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}

Cộng n đẳng thức ta thu được \frac{3}{1.2}+\frac{7}{2.3}+....+\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)}=n+\frac{n}{n+1}

Suy ra \begin{bmatrix} \frac{3}{1.2}+\frac{7}{2.3}+....+\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)} \end{bmatrix} = n

Câu hỏi liên quan

  • Cho biểu thức:A =

    Cho biểu thức:

    A = left ( frac{3}{sqrt{b}-1}+frac{sqrt{b}-3}{b-1} right ):left ( frac{b+2}{b+sqrt{b}-2}-frac{sqrt{b}}{sqrt{b}+2} right )

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Rút gọn A

    Chi tiết
  • Chứng minh DM.CE=DE.CM

    Chứng minh DM.CE=DE.CM

    Chi tiết
  • Rút gọn biểu thức A

    Rút gọn biểu thức A

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình left{begin{matrix} 12x + y = 25\ x + 2y = 4 end{matrix}right.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình với a = 2

    Giải hệ phương trình với a = 2

    Chi tiết
  • Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN. Từ một điểm A trên tiếp tuyến Mx của nửa đư

    Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN. Từ một điểm A trên tiếp tuyến Mx của nửa đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến thứ hai AE ( E là tiếp điểm). Nối A với N cắt nủa đưởng tròn (O) ở B.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chi tiết
  • Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên

    Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên

    Chi tiết
  • AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.

    AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.

    Chi tiết
  • Tính AC và BD biết

    Tính AC và BD biết widehat{AOC} = alpha. Chứng tỏ tích AC.BD không phụ thuộc vào  alpha

    Chi tiết
  • Kẻ EI vuông góc MN, cắt AN tại D. Tính CD biết ME = 8cm; MN=10cm

    Kẻ EI vuông góc MN, cắt AN tại D. Tính CD biết ME = 8cm; MN=10cm

    Chi tiết