Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = AA’ = a, AC = a√2. Gọi E là trung điểm của BC’, F là điểm nằm trên đoạn thẳng BC sao cho BC = 3BF. Chứng minh rằng (AB’F) ⊥ (BCC’B’) và tính theo a thể tích của khối tứ diện ABEF.
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = AA’ = a, AC = a√2. Gọi E là trung điểm của BC’, F là điểm nằm trên đoạn thẳng BC sao cho BC = 3BF. Chứng minh rằng (AB’F) ⊥ (BCC’B’) và tính theo a thể tích của khối tứ diện ABEF.
(đvtt). 
(đvtt). 
(đvtt). 
(đvtt). Đáp án đúng: A
Lời giải của Luyện Tập 365
Ta có 
.
= ( 
+ 
).( - )
= -AB2 + AC2 = -a2 + (2a2) = 0
( lưu ý rằng các vectơ vuông góc với nhau thì tích vô hướng của chúng bằng 0).
Từ đó suy ra AF ⊥BC.
Mặt khác ta có BB’ ⊥(ABC) => BB’ ⊥AF.
Do đó AF ⊥(BCC’B)=> (AB’F) ⊥(BCC’B).
Vì BC =3BF nên SABF = SABC = .
.a.a.√2 = 
.
Vì E là trung điểm của BC’ nên d(E,(ABC)) = d(C’,(ABC)) = CC’ = 
.
Từ đó suy ra VAEBF = d(E,(ABC)). SABF= .. = 
(đvtt).
Ta có . = ( + ).( - )
= -AB2 + AC2 = -a2 + (2a2) = 0
( lưu ý rằng các vectơ vuông góc với nhau thì tích vô hướng của chúng bằng 0).
Từ đó suy ra AF ⊥BC.
Mặt khác ta có BB’ ⊥(ABC) => BB’ ⊥AF.
Do đó AF ⊥(BCC’B)=> (AB’F) ⊥(BCC’B).
Vì BC =3BF nên SABF = SABC = ..a.a.√2 = .
Vì E là trung điểm của BC’ nên d(E,(ABC)) = d(C’,(ABC)) = CC’ = .
Từ đó suy ra VAEBF = d(E,(ABC)). SABF= .. = (đvtt).
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d:
=
=
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4. -
Cho hàm số y =
. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất. -
Tính tích phân I =
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.
-
Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất. -
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.
-
Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?
-
Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.
-
Tính tích phân I=
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.