Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 2398

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện 4(x + y + z) = 3xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P = \frac{1}{2+x+yz} + \frac{1}{2+y+zx} + \frac{1}{2+z+xy}

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện 4(x + y + z) = 3xyz. Tìm

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện 4(x + y + z) = 3xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P = \frac{1}{2+x+yz} + \frac{1}{2+y+zx} + \frac{1}{2+z+xy}


A.
P = \frac{3}{4}
B.
P = -\frac{3}{4}
C.
P = \frac{3}{8}
D.
P = -\frac{3}{8}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có 3xyz = 4(x + y + z) ≥ 4.3\sqrt[3]{xyz} . Suy ra xyz ≥  8 . Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức côsi ta được 

2 + x + yz ≥ 2\sqrt{2x} + yz ≥ 2\sqrt{2\sqrt{2x}.yz} = 2\sqrt{2\sqrt{2xyz}.\sqrt{yz}} ≥ 4√2 .\sqrt[4]{yz}

Suy ra \frac{1}{2+x+yz} ≤ \frac{1}{4\sqrt{2}}.\frac{1}{\sqrt[4]{yz}} ≤ \frac{1}{4}.\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{yz}} \right )  ≤ \frac{1}{8}\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{yz} \right ) ≤ \frac{1}{8}\left ( \frac{3}{4}+\frac{1}{yz} \right )

Tương tự ta cũng có \frac{1}{2+y+zx} ≤  \frac{1}{8}\left ( \frac{3}{4}+\frac{1}{zx} \right ) , \frac{1}{2+y+zx} ≤ \frac{1}{8}\left ( \frac{3}{4}+\frac{1}{xy} \right ).

Do đó P ≤ \frac{1}{8}\left ( \frac{9}{4}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \right ) = \frac{1}{8}\left ( \frac{9}{4}+\frac{3}{4} \right ) = \frac{3}{8}

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2. Vậy giá trị lớn nhất của P là \frac{3}{8},đạt được khi x = y = z = 2

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết