Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 2367

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại A,AB = 2a,AC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau  và bằng a√2. Gọi M,H lần lượt là trung điểm của AB,BC,I là điểm thỏa mãn \overrightarrow{BI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng MH và SI

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại A,AB = 2a,AC = a. Các cạ

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại A,AB = 2a,AC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau  và bằng a√2. Gọi M,H lần lượt là trung điểm của AB,BC,I là điểm thỏa mãn \overrightarrow{BI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng MH và SI


A.
VSABC = -\frac{1}{3}SH.SABC = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.( \frac{1}{2}.a.2a ) = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}( (đvtt) d=\dpi{100} \frac{7}{a\sqrt{21}}
B.
VSABC = -\frac{1}{6}SH.SABC = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.( \frac{1}{2}.a.2a ) = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}( (đvtt) \dpi{100} d=\frac{a\sqrt{3}}{7}
C.
VSABC = \frac{1}{6}SH.SABC = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.( \frac{1}{2}.a.2a ) = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}( (đvtt) d=\dpi{100} \frac{3a}{7}
D.
VSABC = \frac{1}{3}.SH.SABC = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.( \frac{1}{2}.a.2a ) = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}( (đvtt) d(MH,SI) = HK = \frac{a\sqrt{21}}{7}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

                          

Vì các cạnh bên của hình chóp bằng nhau nên hình chiếu của S xuống (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Vì tam giác ABC vuông tại A nên  tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác này chính là trung điểm H của BC

Do đó SH  ⊥ (ABC)

Áp dụng định lí pitago vào tam giác ABC ta có BC = \sqrt{4a^{2}+a^{2}} = a√5.

Áp dụng định lí pitago vào tam giác SHB ta có SH = \sqrt{2a^{2}-\frac{5a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}

Từ đó suy ra  VSABC = \frac{1}{3}.SH.SABC = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.( \frac{1}{2}.a.2a ) = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}( (đvtt)

Mặt phẳng chứa SI và song song với MH là (SBI). Do đó 

d(MH,SI) = d(MH,(SBI)) = d(H,(SBI)). Kẻ HO vuông góc với BI tại O chính là điểm đối xứng với trung điểm E của AC qua H. Kẻ HK vuông góc với SO tại K

Khi đó HK ⊥ (SBI)

Áp dụng hệ thức lượng giác trong tam giác vuông SHO ta có

\frac{1}{HK^{2}}=\frac{1}{HS^{2}}+\frac{1}{HO^{2}}=\frac{4}{3a^{2}}+\frac{1}{a^{2}}=\frac{7}{3a^{2}} ⇒ HK = \frac{a\sqrt{21}}{7}

Vậy d(MH,SI) = HK = \frac{a\sqrt{21}}{7}

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết