Skip to main content
/ Luyện Thi Vào Lớp 10 Môn Toán / Câu hỏi 21752

Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: \sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}}   ≤  \frac{3}{2}

Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:

\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}}   ≤  \frac{3}{2}


A.
Click để xem lời giải chi tiết
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức Bu - Nhi - a cốp - xki ta có:

(\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}})^{2}  ≤ 3(\frac{a}{b+c+2a}+\frac{b}{a+c+2b}+\frac{c}{a+b+2c})        (1)

Đặt \left\{\begin{matrix} b+c+2a= 4x\\ c+a+2b=4y \\ a+b+2c=4z \end{matrix}\right.    => \left\{\begin{matrix} a=3x-y-z\\ b=3y-z-x \\ c=3z-x-y \end{matrix}\right.

Khi đó:

(\frac{a}{b+c+2a}+\frac{b}{a+c+2b}+\frac{c}{a+b+2c}) = \frac{3x-y-z}{4x}+\frac{3y-z-x}{4y}+\frac{3z-x-y}{4z}   =

= \frac{9}{4}-\frac{1}{4}(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z})

Mà 

(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z})  ≥ 6

=> (\frac{a}{b+c+2a}+\frac{b}{a+c+2b}+\frac{c}{a+b+2c}) ≤  \frac{9}{4}-\frac{6}{4} = \frac{3}{4}  (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

Câu hỏi liên quan

  • Cho hệ phương trình:

    Cho hệ phương trình: left{begin{matrix} x + ay = 3a\ ax - y = a^{2}-2 end{matrix}right.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Giải hệ phương trình với a = 2

    Chi tiết
  • Cho phương trình x2- 4x + m = 0 (1), với m là tham số.

    Cho phương trình x2- 4x + m = 0 (1), với m là tham số.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Giải phương trình (1) khi m = -5

    Chi tiết
  • Cho biểu thức:A =

    Cho biểu thức:

    A = left ( frac{3}{sqrt{b}-1}+frac{sqrt{b}-3}{b-1} right ):left ( frac{b+2}{b+sqrt{b}-2}-frac{sqrt{b}}{sqrt{b}+2} right )

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Rút gọn A

    Chi tiết
  • Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .

    Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình left{begin{matrix} 12x + y = 25\ x + 2y = 4 end{matrix}right.

    Chi tiết
  • Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt M và N với mọi K

    Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt M và N với mọi K

    Chi tiết
  • Tính AC và BD biết

    Tính AC và BD biết widehat{AOC} = alpha. Chứng tỏ tích AC.BD không phụ thuộc vào  alpha

    Chi tiết
  • Tìm a để hệ phương trình có một nghiệm số duy nhất thỏa mãn: x2  

    Tìm a để hệ phương trình có một nghiệm số duy nhất thỏa mãn:  x2  - 12x – 14y < 0 

    Chi tiết
  • Gọi hoành độ giao điểm 2 điểm M và N lần lượt là x1 và x2.

    Gọi hoành độ giao điểm 2 điểm M và N lần lượt là x1  và x2. Chứng minh rằng:  x1x2=-1, từ đó suy ra tam giác MON là tam giác vuông

    Chi tiết
  • Tính giá trị biểu thức của A với x =

    Tính giá trị biểu thức của A với x = frac{1}{2}

    Chi tiết